一次関数

一次関数とは、式を整理すると、$y=ax+b$となる関数のことである(ただし、ここにおいてa,bはxやyに依存しないした数)。最高次が$x^{1}$で1のため、一次関数と呼ばれる。なお、一次函数、1次関数などの表記揺れがある。

グラフ

一次関数のグラフは必ず直線になる。また、$y=ax$のときは原点を通るグラフになる。

切片

y軸との交点をy切片、x軸との交点をx切片という。式を$y=ax+b$と整理したとき、y切片は$(0,b)$、x切片は$(-{\frac {b}{a}},0)$と表される。これはx=0,y=0として一次方程式を解くことで求められる。

式の求め方

2点$A(A,B)$,$B(a,b)$を通る直線の方程式は,

$y-b{=}{\frac {B-b}{A-a}}(x-a)$または、$y-B{=}{\frac {B-b}{A-a}}(x-A)$と表される。

また、$A(0,0)$,$B(a,b)$の場合は、

$y={\frac {b}{a}}x$と求められる。

性質

$f(x)=ax+b$についての性質は以下のようである。

• 微分は定数関数$a$である:$f'(x)=a$
• (不定)積分は二次関数である:$\int f(x)dx=ax^{2}+bx+C_{0}$($C_{0}$は積分定数)
• 奇関数である:$f(x)=ax+b=-f(-x)$

接線

関数$f(x)=ax+b$について、$y=f(x)$上の任意の点$(x_{0},f(x_{0}))$での接線の方程式は、自分自身になる。

$y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$(一般の接線の式)

$y-(ax_{0}+b)=a(x-x_{0})$($f(x)=ax+b$を代入)

$y-b=ax$($ax_{0}$の項を消去)

$y=ax+b$(整理して自分自身になる)

一次方程式は、直線すなわち微分(傾き)が一定なのだから当然である。