一次関数

一次関数とは、式を整理すると、$y=ax+b$となる関数のことである(ただし、ここにおいてa,bはxやyに依存しないした数)。最高次が$x^1$で1のため、一次関数と呼ばれる。なお、一次函数、1次関数などの表記揺れがある。

グラフ

一次関数のグラフは必ず直線になる。また、$y=ax$のときは原点を通るグラフになる。

切片

y軸との交点をy切片、x軸との交点をx切片という。式を$y=ax+b$と整理したとき、y切片は$(0,b)$、x切片は$(-\frac{b}{a},0)$と表される。これはx=0,y=0として一次方程式を解くことで求められる。

式の求め方

2点$A(A,B)$,$B(a,b)$を通る直線の方程式は,

$y-b=\frac{B-b}{A-a}(x-a)$または、$y-B=\frac{B-b}{A-a}(x-A)$と表される。

また、$A(0,0)$,$B(a,b)$の場合は、

$y=\frac{b}{a}x$と求められる。

性質

$f(x)=ax+b$についての性質は以下のようである。

• 微分は定数関数$a$である:$f^{\prime }(x)=a$
• (不定)積分は二次関数である:$\int f(x)dx=a{x}^2+bx+C_0$($C_0$は積分定数)

接線

関数$f(x)=ax+b$について、$y=f(x)$上の任意の点$(x_0,f(x_0))$での接線の方程式は、自分自身になる。

$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$(一般の接線の式)

$y-(a{x}_0+b)=a(x-x_0)$($f(x)=ax+b$を代入)

$y-b=ax$($a{x}_0$の項を消去)

$y=ax+b$(整理して自分自身になる)

一次方程式は、直線すなわち微分(傾き)が一定なのだから当然である。