有理関数
有理関数(ゆうりかんすう)とは、関数の一種である。
概要[編集]
変数、および定数の四則演算（和、差、積、商）だけで表される関数のことを、有理関数と呼ぶ。有理関数は、多項式÷多項式の形で表される。
性質[編集]
有理関数の和、差、積、商は有理関数となる。また、有理数上、実数上、複素数上いずれでも定義できるが、全ての数で定義できるとは限らない。
一変数の場合[編集]
変数が一つだけの場合、有理関数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)} は、m次多項式構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_m(x)} 、n次多項式構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q_n(x)} を用いて、次の様に表される。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} }
有理関数は、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q_n(x)=0} となる構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} に対しては定義できない。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n \geq 1} であれば、代数学の基本定理より構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q_n(x)=0} となる複素数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} が必ず存在するため、複素数全体で定義することはできない。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): n が奇数かつ係数が全て実数であれば、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q_n(x)=0} は必ず実数解を持つので、全ての実数に対して定義することもできない。
要注意なのが構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_m(x)=Q_n(x)=0} の時で、この様になる構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} に対しても定義してはいけない。この場合、後述の記法を用いて、約分することでゼロ割りにならない様に「錯覚」する場合があるので要注意。
複素数係数の有理関数であれば、代数学の基本定理を用いることで、多項式の因数分解が可能であり、次の様な形に直すことができる。 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = K \cdot \frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_m)}{(x-\beta_1)(x-\beta_2) \cdots (x-\beta_n)} }
この時、一般的には構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_m(x)=0} の解、即ち構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m} で構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=0} となるので、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m} のことを「零点」と呼ぶ。一方、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q_n(x)=0} の解、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m} では定義できないが、これらの点の近傍では無限大に近い値となるので、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m} のことを「極」と呼ぶ。
一般的に、零点は分子の次数分、極は分母の次数分存在する。しかし、複数の零点、あるいは極が重複する場合もあるので、次数だけで零点・極の数が特定できるわけではない。
なお、零点と極が重複する様に見える時、即ち構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_m(x)=Q_n(x)=0} の場合は、零点とは呼ばない。極と呼ぶかどうかは人により意見が異なる。というのは、例えば構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) = (x^2-3x+2)/(x^2-5x+6)} という関数を考えた場合、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=2} では定義できないので極であるとも言える。一方で、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \neq 2,3} ならば構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=(x-1)/(x-3)} と同じであり、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \approx 2} であれば構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) \approx -1} となり発散しないので、極でないとも言える。
関連項目[編集]
脚注[編集]