エルミートの微分方程式

数学の解析学分野に於けるエルミートの微分方程式とは以下のよーな形で表される線形微分方程式である。

• $y''-2xy'+2ny=0$

概要

上記微分方程式は冪級数を用いる事により一般解を求める事ができる。

まず$x=0$まわりの冪級数を

$y=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}x^{m}$

と置いて、これを項別微分し上記方程式に代入すれば

$\sum _{m=2}^{\infty }m(m-1)c_{m}x^{m-2}-2\sum _{m=1}^{\infty }mc_{m}x^{m}+2n\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}x^{m}=0$

が得られる。ここで$x^{m}$の項を零とおけば

$(m+2)(m+1)c_{m+2}-2mc_{m}+2nc_{m}=0$

が求まる。これから漸化式

• $c_{m+2}=-2{\frac {n-m}{(m+2)(m+1)}}c_{m}$

が導かれる。

nが非負整数であるときは$m>n$なるmに対して$c_{m}=0$となる事により上記微分方程式の級数解がn次多項式解になる。

エルミート多項式

エルミートの微分方程式のn次多項式解のうち$x^{n}$の係数が1であるものをエルミート多項式と言い$H_{n}(x)$で表わす。この多項式には以下の如き簡潔な表示式が存在する。；

• $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

以下、上記表示式がエルミートの微分方程式を満たす事を示そう。

証明 以下のよーな関数

$u=(-1)^{n}H_{n}(x)=e^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}$

を考えると積の微分法とライプニッツの公式より

${\begin{aligned}u'&=2xe^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}+e^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n+1)}\\&=2xe^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}-2e^{x^{2}}(xe^{-x^{2}})^{(n)}\\&=2xe^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}-2e^{x^{2}}\sum _{k=0}^{n}{}_{n}\!C_{k}x^{(k)}(e^{-x^{2}})^{(n-k)}\\&=-2ne^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n-1)}\end{aligned}}$

が成り立つ。更に微分すると

${\begin{aligned}u''&=-2n\{2xe^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n-1)}+e^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}\}\\&=-4nxe^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n-1)}-2ne^{x^{2}}(e^{-x^{2}})^{(n)}\\&=2xu'-2nu\end{aligned}}$

となり上述の関数uが微分方程式

$u''-2xu'+2nu=0$

を満たしている事が分かる。(証明終)

関連項目

• エルミート多項式