Y-Δ変換とΔ-Y変換

Y-Δ変換やΔ-Y変換は三相交流で使われるΔ形回路とY形回路を相互に変換する変換である。

非対称なインピーダンスをもつ回路

本項では、非対称なインピーダンスをもつ回路を含む、一般のY-Δ変換・Δ-Y変換について説明する。 三相を$a,b,c$とする。

Y結線

Δ結線

電圧

Y型回路の電圧を$V_0,V_a,V_b,V_c$($V_0$は中性点の電圧), Δ型回路のc→b→a方向の電圧を$V_{ab},V_{bc},V_{ca}$ キルヒホッフの電圧則より

$V_{ab}=V_a-V_b$

$V_{bc}=V_b-V_c$

$V_{ca}=V_c-V_a$

$V_{ab}+V_{bc}+V_{ca}=0$

電流

Y型回路の中性点に流れ込む電流を$I_a,I_b,I_c$, Δ型回路のa→b→c方向の電流を$I_{ab},I_{bc},I_{ca}$とする。 キルヒホッフの電流則より

$I_a=I_{ab}-I_{ca}$

$I_b=I_{bc}-I_{ab}$

$I_c=I_{ca}-I_{bc}$

$I_a+I_b+I_c=0$

インピーダンス

Y型回路のインピーダンスを$Z_a,Z_b,Z_c$, Δ型回路のインピーダンスを$Z_{ab},Z_{bc},Z_{ca}$とする。 前述の電圧と電流およびオームの法則より

$Z_a=\frac{Z_{ab}{Z}_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

$Z_b=\frac{Z_{bc}{Z}_{ab}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

$Z_c=\frac{Z_{ca}{Z}_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

$Z_{ab}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_c}$

$Z_{bc}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_a}$

$Z_{ca}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_b}$

以下は詳しい導出である。

$\frac{V_a}{Z_a}=I_a=I_{ab}-I_{ca}=\frac{V_{ab}}{Z_{ab}}-\frac{V_{ca}}{Z_{ca}}=\frac{V_a-V_b}{Z_{ab}}-\frac{V_c-V_a}{Z_{ca}}$

$\frac{V_b}{Z_b}=I_b=I_{bc}-I_{ab}=\frac{V_{bc}}{Z_{bc}}-\frac{V_{ab}}{Z_{ab}}=\frac{V_b-V_c}{Z_{bc}}-\frac{V_a-V_b}{Z_{ab}}$

$\frac{V_c}{Z_c}=I_b=I_{ca}-I_{bc}=\frac{V_{ca}}{Z_{ca}}-\frac{V_{bc}}{Z_{bc}}=\frac{V_c-V_a}{Z_{ca}}-\frac{V_b-V_c}{Z_{bc}}$

なので

$V_0=(1-\frac{Z_a}{Z_{ab}}-\frac{Z_a}{Z_{ca}})V_a+\frac{Z_a}{Z_{ab}}{V}_b+\frac{Z_a}{Z_{ca}}{V}_c$

$V_0=(1-\frac{Z_b}{Z_{bc}}-\frac{Z_b}{Z_{ab}})V_b+\frac{Z_b}{Z_{bc}}{V}_c+\frac{Z_b}{Z_{ab}}{V}_a$

$V_0=(1-\frac{Z_c}{Z_{ca}}-\frac{Z_c}{Z_{bc}})V_c+\frac{Z_c}{Z_{ca}}{V}_a+\frac{Z_c}{Z_{bc}}{V}_b$

である。これらは任意の$V_a,V_b,V_c$について成立するため、3式の$V_a,V_b,V_c$の係数は一致するから

$(1-\frac{Z_a}{Z_{ab}}-\frac{Z_a}{Z_{ca}})=\frac{Z_b}{Z_{ab}}=\frac{Z_c}{Z_{ca}}\cdots (1)$

$(1-\frac{Z_b}{Z_{bc}}-\frac{Z_b}{Z_{ab}})=\frac{Z_c}{Z_{bc}}=\frac{Z_a}{Z_{ab}}\cdots (2)$

$(1-\frac{Z_c}{Z_{ca}}-\frac{Z_c}{Z_{bc}})=\frac{Z_a}{Z_{ca}}=\frac{Z_b}{Z_{bc}}\cdots (3)$

となる。整理して

$(1-\frac{Z_a(Z_{ab}+Z_{ca})}{Z_{ab}{Z}_{ca}})=\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_{ab}{Z}_{ca}}(\because (1)(3))$

$(1-\frac{Z_b(Z_{bc}+Z_{ab})}{Z_{bc}{Z}_{ab}})=\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_{bc}{Z}_{ab}}(\because (2)(1))$

$(1-\frac{Z_c(Z_{ca}+Z_{bc})}{Z_{ca}{Z}_{bc}})=\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_{ca}{Z}_{bc}}(\because (3)(2))$

よって

$Z_a=\frac{Z_{ab}{Z}_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

$Z_b=\frac{Z_{bc}{Z}_{ab}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

$Z_c=\frac{Z_{ca}{Z}_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}$

また、それぞれ

$Z_{ca}=\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_b}(\because (1))$と$Z_{bc}=\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_a}(\because (2))$を$Z_a$に

$Z_{ab}=\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_c}(\because (2))$と$Z_{ca}=\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_b}(\because (3))$を$Z_b$に

$Z_{bc}=\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_a}(\because (3))$と$Z_{ab}=\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_c}(\because (1))$を$Z_c$に

代入して

$Z_a=\frac{Z_{ab}\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_b}}{Z_{ab}+\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_a}+\frac{Z_c{Z}_{ab}}{Z_b}}$

$Z_b=\frac{Z_{bc}\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_c}}{Z_{bc}+\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_b}+\frac{Z_a{Z}_{bc}}{Z_c}}$

$Z_c=\frac{Z_{ca}\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_a}}{Z_{ca}+\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_c}+\frac{Z_b{Z}_{ca}}{Z_a}}$

よって

$Z_{ab}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_c}$

$Z_{bc}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_a}$

$Z_{ca}=\frac{Z_a{Z}_b+Z_b{Z}_c+Z_c{Z}_a}{Z_b}$

対称三相交流回路

三相交流では三つの電源(発電機のコイルと考えても、変圧器のコイルと考えてもよい)から3本の導線を使って負荷に電力を供給するものである。三相の接続は二つの方式がある。Ｙの形に接続したものをＹ接続または星形接続といい、Ｙの中心部である点Ｎを中性点という。この場合、それぞれ一つの電源が一つの負荷に電力を供給し、電流I₁、I₂、I₃は3つの電源を出ていずれも中性点Ｎ同士を結ぶ導線を通って帰ると考える。

これに対して正三角形に接続したものをΔ接続または環状接続という。電力関係では、両方の接続方式ともよく用いられるが、、Ｙ接続は主に送電線で用いられ、Δ接続は主に配電線で用いられる。

対称3相交流電圧のＹｰΔ変換

1. Ｙ接続の中性点からa相、b相、c相へ向かう電圧V_a、V_b、V_cを相電圧または星形電圧という。
2. Δ接続の正三角形の頂点a、b、cとの間の各相間(例えばa-b相間など)の電圧を線間電圧という。またＹ接続の各相間の電圧も線間電圧という。これをV_ab、V_bc、V_caとする。
3. 相電圧と線間電圧の関係は

$V_a=V_b=V_c=V_Y$

$V_{ab}=V_{bc}=V_{ca}=V_{\mathrm{\Delta }}$

とすると、三平方の定理より、

$\sqrt{3}{V}_Y=V_{\mathrm{\Delta }}$

となる。つまり、相電圧√3V_Y=線間電圧V_Δとなる。

また、対称3相交流電圧のフェーザ図からは、

$\dot{V_{ab}}=\dot{V_a}-\dot{V_b}=V-(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})V=(\frac{3}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})V=\sqrt{3}V(\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2})$

=√3V∠30°=V₁∠30°

$\dot{V_{bc}}=\dot{V_b}-\dot{V_c}=(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})V-(\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})V=-j\sqrt{3}V=\sqrt{3}V(-j\sqrt{3})$

=√3V∠-90°=V₁∠-90°

$\dot{V_{ca}}=\dot{V_c}-\dot{V_a}=(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})V-V=(-\frac{3}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})V=\sqrt{3}V(-\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2})$

=√3V∠150°=V₁∠150°

対称3相交流電流のY-Δ変換

Δ接続の正三角形の頂点a、b、cから外部へ向かう電流

$\dot{I_a}$, $\dot{I_b}$, $\dot{I_c}$

を線電流もしくは相電流という。また、Δ上を流れる電流

$\dot{I_{ab}}$

$\dot{I_{bc}}$

$\dot{I_{ca}}$

を環状電流という。

今、I_abを基準としてI_ab =I_r∠0°とすると両者間の関係を示すフェーザ図を作成する。

中点Ｎから0°、-120°、120°からのベクトルを

$\dot{I_{ab}}=\dot{I_r}$

$\dot{I_{bc}}=(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}$

$\dot{I_{ca}}=(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}$

とすると、キルヒホッフの第1則から、

$\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}$

$\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}$

$\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}$

となるので、次の式が得られる。

$\dot{I_a}=\dot{I_{ab}}-\dot{I_{ca}}=\dot{I_r}-(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}=(\frac{3}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}$

$\dot{I_b}=\dot{I_{bc}}-\dot{I_{ab}}=(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}-\dot{I_r}=(-\frac{3}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}$

$\dot{I_c}=\dot{I_{ca}}-\dot{I_{bc}}=(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}-(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})\dot{I_r}=j\sqrt{3}\dot{I_r}$

以上より次の関係が得られる。

線電流(相電流)Ｉ=環状電流Ｉ_r×√3

関連項目

• 三相交流
• αβ変換
• dq変換
• γδ変換
• 対称座標法