運動量演算子

運動量演算子とは、量子力学における演算子のひとつであり、以下のように表される。

$\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

古典力学において、$\mathrm{\nabla }$はナブラである。運動量演算子はハミルトニアン形式で使用される。古典粒子のハミルトニアンは、置換によって量子粒子のハミルトニアンに変換することができる。

運動エネルギー$T=\frac{1}{2}m{v}^2$および位置エネルギー$U$を持つ粒子のハミルトニアンは、古典的に

$H=T+U=\frac{p^2}{2m}+U$

つまり、ハミルトニアンは、(非相対論的)量子力学のものである。

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U$

理論

古典力学では、ハミルトニアン$H(p,x)$から一次元運動方程式が導出される。

$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{dU}{dx}=F$

ここで、$F$は粒子に働く力である。

量子力学において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式における$\hat{H}$は、エネルギー$E$を持つ粒子の波動関数$\psi$を決定する。

$\hat{H}\psi =E\psi$

シュレーディンガー方程式は、量子力学において、ニュートンの第一法則が古典力学において果たす役割に相当する。

運動量演算子$\hat{p}$は、粒子の波数$k$を用いたド・ブロイの仮説の式の$p=\hslash k$と一致する。波動関数は$\psi \sim e^{ikx}=e^{\frac{ipx}{\hslash }}$の形を取るため、

$\frac{d\psi }{dx}=\frac{i}{\hslash }p\psi \text{of}\hat{p}\psi =-i\hslash \frac{d\psi }{dx}=p\psi$

$p$は演算子$\hat{p}$の固有値である。

三次元の場合も理論は同じである。この場合、$p$と$x$はベクトルであり、$\frac{d}{dx}$はナブラ演算子である。