ハミルトニアン

粒子系のハミルトニアンもしくはハミルトニアン関数${\mathscr{H}}({\overrightarrow{q}}_1,{\overrightarrow{q}}_2,\dots ,{\overrightarrow{p}}_1,{\overrightarrow{p}}_2,\dots ,t)$とは、その粒子の総エネルギーであり、一般化された位置と運動量、及び必要に応じて時間の関数である。この関数はウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名づけられた。これは系のラグランジュ力学のルジャンドル変換である。

定義

ハミルトニアン関数は以下のように定義される。

${\mathscr{H}}(\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩},t):=\left\{\sum _{i=1}^n{\dot{q}}_i{p}_i\right\}-{ℒ}(\mathbf{𝐪},\dot{\mathbf{𝐪}},t),\text{ mit }\dot{\mathbf{𝐪}}=\dot{\mathbf{𝐪}}(\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩},t)$

• $t$=時間
• $\mathbf{𝐪}=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$=一般化座標系
• $\mathbf{𝐩}=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$=一般化運動量

これは一般化座標とその速度に一般化速度$\dot{\mathbf{𝐪}}=({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n)$に関するラグランジュ関数${ℒ}(t,\mathbf{𝐪},\dot{\mathbf{𝐪}})$のルジャンドル変換から導出される。

${\mathscr{H}}(t,\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩})=\left\{\sum _{i=1}^n{\dot{q}}_i{p}_i\right\}-{ℒ}(t,\mathbf{𝐪},\dot{\mathbf{𝐪}})$

この時右側の速度$\dot{\mathbf{𝐪}}$が持つ関数では

$\dot{\mathbf{𝐪}}(t,\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩})$

これは一般化運動量を定義するときに得られる。

$p_i(\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩},t):=\frac{\partial {ℒ}}{\partial {\dot{q}}_i}(\mathbf{𝐪},\dot{\mathbf{𝐪}},t),i=1,\dots ,n$

速度に応じて分解する。

特徴

導出

ハミルトニアン関数の全微分は次のようになる。

$\mathrm{d}{\mathscr{H}}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+\sum _{i=1}^n\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i+\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}\mathrm{d}t$

積の法則により、

$\mathrm{d}{\mathscr{H}}=\sum _{i=1}^n(p_i\mathrm{d}{\dot{q}}_i+{\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i-\frac{\partial {ℒ}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i-\frac{\partial {ℒ}}{\partial {\dot{q}}_i}\mathrm{d}{\dot{q}}_i)-\frac{\partial {ℒ}}{\partial t}\mathrm{d}t,$

ただし、一般化運動量$\frac{\partial {ℒ}}{\partial {\dot{q}}_i}=p_i$の定義により、括弧内の最初と最後の項は合計が0となるので、以下の式が成り立つ。

$\mathrm{d}{\mathscr{H}}=\sum _{i=1}^n({\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i-\frac{\partial {ℒ}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i)-\frac{\partial {ℒ}}{\partial t}\mathrm{d}t$

上記の全微分を使用して、ハミルトニアン関数の偏微分は次のようになる。

$\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial p_i}={\dot{q}}_i$

$\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial q_i}=-\frac{\partial {ℒ}}{\partial q_i}=-{\dot{p}}_i$

$\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}=-\frac{\partial {ℒ}}{\partial t}$

保存量

ハミルトニアン関数の時間に関する全微分は偏微分は同一である。

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{\mathscr{H}}}{\mathrm{d}t}& =\sum _{i=1}^f(\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial p_i}{\dot{p}}_i+\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial q_i}{\dot{q}}_i)+\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}\\ & =\sum _{i=1}^f({\dot{q}}_i{\dot{p}}_i-{\dot{p}}_i{\dot{q}}_i)+\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}\\ & =\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}\end{array}$

ハミルトニアン関数が時間$t$に依存しない場合、その値は量に依存し保存量となる。

${\mathscr{H}}\ne {\mathscr{H}}(t)\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{\mathscr{H}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial t}=0\Rightarrow {\mathscr{H}}=konst.$

意味

ハミルトニアン関数は、標準方程式を通して粒子の位置と運動量の時間発展を決定する。

${\dot{q}}_k=\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial p_k}$

${\dot{p}}_k=-\frac{\partial {\mathscr{H}}}{\partial q_k}$

同様に、ハミルトニアン演算子は量子力学における時間の変化を決定する。多くの場合、ハミルトニアン関数から、${\mathscr{H}}(t,\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩})$の代数式を、カノニカル運動量演算子関係を満たす演算$\mathbf{𝐪}$および$\mathbf{𝐩}$の関数として読み取ることで、カノニカル量子化によってハミルトニアン演算子を得ることができる。

関連項目

• 量子力学
• 点質点
• 調和振動子 (量子力学)