ハミルトニアン

粒子系のハミルトニアンもしくはハミルトニアン関数${\mathcal {H}}({\vec {q}}_{1},{\vec {q}}_{2},\ldots ,{\vec {p}}_{1},{\vec {p}}_{2},\ldots ,t)$とは、その粒子の総エネルギーであり、一般化された位置と運動量、及び必要に応じて時間の関数である。この関数はウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名づけられた。これは系はラグランジュ力学のルジャンドル変換である。

定義

ハミルトニアン関数は以下のように定義される。

${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t):=\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),{\text{ mit }}{\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$

• $t$=時間
• $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{n})$=一般化座標系
• $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{n})$=一般化運動量

これは一般化座標とその速度に一般化速度${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dotsc ,{\dot {q}}_{n})$に関するラグランジュ関数${\mathcal {L}}(t,\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})$のルジャンドル変換から導出される。

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}(t,\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})$

この時右側の速度${\dot {\mathbf {q} }}$が持つ関数では

${\dot {\mathbf {q} }}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$

これは一般化運動量を定義するときに得られる。

$p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t):={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),\quad i=1,\dots ,n$

速度に応じて分解する。

特徴

導出

ハミルトニアン関数の全微分は次のようになる。

$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t$

積の法則により、

$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}+{\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t,$

ただし、一般化運動量${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$の定義により、括弧内の最初と最後の項は合計が0となるので、以下の式が成り立つ。

$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t$

上記の全微分を使用して、ハミルトニアン関数の偏微分は次のようになる。

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}$

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}$

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$

保存量

ハミルトニアン関数の時間に関する全微分は偏微分は同一である。

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{f}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i=1}^{f}\left({\dot {q}}_{i}{\dot {p}}_{i}-{\dot {p}}_{i}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\\&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\end{aligned}}$

ハミルトニアン関数が時間$t$に依存しない場合その値は量に依存し、保存量となる。

${\mathcal {H}}\neq {\mathcal {H}}(t)\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0\Rightarrow {\mathcal {H}}=konst.$

意味

ハミルトニアン関数は、標準方程式を通して粒子の位置と運動量の時間発展を決定する。

${\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}$

${\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}$

同様に、ハミルトン演算子は量子力学における時間の変化を決定する。多くの場合、ハミルトン関数から、${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$の代数式を、カノニカル運動量演算子関係を満たす演算$\mathbf {q}$および$\mathbf {p}$の関数として読み取ることで、カノニカル量子化によってハミルトン演算子を得ることができる。

関連項目

• 量子力学
• 点質点
• 調和振動子 (量子力学)