ハイゼンベルク方程式

ハイゼンベルク方程式とは、1925年にドイツの物理学者のヴェルナー・ハイゼンベルクによって導入された量子観測可能なハミルトン系の発展を記述する方程式である。つまりは、観測量は時間に依存するが、状態は時間に依存しないという量子力学の定式化である。この方程式は以下のように定義される。

$\frac{d}{dt}{A}_{\mathrm{H}}(t)=\frac{i}{\hslash }[H_{\mathrm{H}}(t),A_{\mathrm{H}}(t)]+{\left(\frac{\partial A_{\mathrm{S}}}{\partial t}\right)}_{\mathrm{H}}$

• $\mathrm{H}$=ハイゼンベルク猫像における観測量
• $\mathrm{S}$=シュレーディンガー猫像における観測量
• $H$=ハミルトニアン演算子

開量子系、散逸系及び非ハミルトニアン系の場合は、量子観測量に対するリンドブラッド方程式が用いられる。座標演算子と運動量演算子を観測量とすると、ハミルトニアン方程式の量子版が得られる。

この方程式は、特に観測量の期待値を量子観測量として選んだ場合、自動的にエーレンフェスト方程式が導出される。古典力学において、ハイゼンベルク方程式に相当するのはハミルトニアン方程式である。というのも、換算プランク定数上の交換子をポアソン括弧で置き換えるだけでハミルトニアン方程式に簡約される。

関連項目

• シュレーディンガー方程式
• フォン・ノイマン方程式