リンドブラッド方程式

リンドブラッド方程式またはコサコフスキ=リンドブラッド方程式とは密度行列の方程式であり、密度行列$\rho$の非ユニタリー(散逸的、非ハミルトン的)発展を記述する最も一般的なマルコフ過程のマスター方程式である。この発展は、跡を保存する完全な正の関数(超演算子)として表される。この方程式は、ヴィットーリオ・ゴリーニ、アンジェイ・コサコフスキ、ジョージ・スダルシャン、ヨーラン・リンドブラッドによって導入された。

式

密度行列のリンドブラッド方程式は以下のように表される。

$\frac{d}{dt}\rho =\frac{1}{i\hslash }[H,\rho ]+\frac{1}{2\hslash }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}([V_k\rho ,V_k^{†}]+[V_k,\rho V_k^{†}])$

• $\rho$=密度行列
• $H$=ハミルトニアン演算子
• $V_k$=一部の演算子。$V_k$が0に等しい場合、リンドブラッド方程式はフォン・ノイマン方程式となる。

リンドブラッド方程式は量子観測量に関する方程式ともいえる。その場合、次の形を取る。

$\frac{d}{dt}A=-\frac{1}{i\hslash }[H,A]+\frac{1}{2\hslash }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(V_k^{†}[A,V_k]+[V_k^{†},A]V_k)$

• $A$=量子観測量。もし、演算子$V_k$が0に等しい場合、量子観測量$A$に対するリンドブラッド方程式はハイゼンベルク方程式に渡る。

リンドブラッド方程式は量子マルコフ方程式とも呼ばれ、開放量子系、散逸系、非ハミルトニアン系などの量子系を記述するために使用される。

リンドブラッド方程式の重要な特殊な例は、ランダム衝突モデルであり、このモデルでは、演算子$V_k$は、$V_{kl}=\hslash \gamma \sqrt{{\tilde{\rho }}_{kk}}|k⟩⟨1|$(記述の便宜上、行列の添字$k$は二重添字に置き換えられている)の形を取る。この演算子を代入すると、リンドブラッド方程式は以下のようになる。

$\frac{d}{dt}\rho =\frac{1}{i\hslash }[H,\rho ]+\gamma (\tilde{\rho }-\rho )$

ここで、$\tilde{\rho }$は、$\mathrm{T}\mathrm{r}=1$を満たす非ゼロ要素${\tilde{\rho }}_{kk}$を持つ固定対格行列であり、系の熱力学平衡状態の密度行列を表す。ランダム衝突モデルｈ、量子系とリザーバーとの相互作用が短パルスと強パルスの領域で発生し、その間に系が閉鎖系として発展する場合に適している。