ディラックスピノル

ディラックスピノルとは4元ベクトルのことである。しかし、それ自体は変換されないため、4元ベクトルではない。これは、成分が波動関数であるディラック方程式の解である。

意味

自由粒子の場合、ディラック方程式の4つの可能な線形独立成分は次の通り、

${\psi }^{(1,2)}={\mathrm{e}}^{-imt}{\hat{e}}^{(1,2)}$

${\psi }^{(3,4)}={\mathrm{e}}^{imt}{\hat{e}}^{(3,4)}$

• ${\hat{e}}^i$=4次元空間の正規直交基底のベクトル

最初の二つの解は正のエネルギーを持ち、残りの二つは負のエネルギーを持つ。

電磁場において、この方程式の解は、パウリスピノルと呼ばれる2次元の2つの部分ベクトルから構成されるものとして表される。

$\psi =(\genfrac{}{}{0ex}{}{\tilde{\phi }}{\tilde{\chi }})$

ディラックスピノルとも呼ばれるこれらの関数は、ローレンツ変換に従って変換されるすべての関数である。

$S(g+\mathrm{d}\omega )=I+i\frac{\mathrm{d}\omega }{4}{\sigma }_{\mu \nu }{I}^{\mu \nu }$

ディラック方程式は変わらない。

この式において、$\sigma$はパウリ行列ではなく、$\gamma$間の交換子から定義される。

${\sigma }_{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }_{\mu },{\gamma }_{\nu }]$

最後に、ディラックのガンマ行列${\gamma }^{\mu }$も用いることで、スピノルを用いて4次元を定義することができる。

$j^{\mu }(x)=\overline{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$

ここで、

$\overline{\psi }(x)={\psi }^{†}(x){\gamma }^0$

そして、

${\psi }^{†}(x)=({\overline{\phi }}^{*},{\overline{\chi }}^{*})$

このスピノルはローレンツ変換により、次のように変換される。

$\overline{\psi }(x)\to \overline{\psi }(x)S^{-1}$

最後に確立保存則により、正規化条件は次のようになる。

$\int {\psi }^{†}(x)\psi (x){\mathrm{d}}^{3}x=1$

関連項目

• ボソン粒子
• ベクトルボソン
• スピノル場
• ファインマン図
• ディラック方程式
• マヨナラ方程式
• 光子