ガウスの微分方程式

数学の解析学分野に於けるガウスの微分方程式（またはガウスの超幾何微分方程式）とは以下の形で与えられる2階線形微分方程式である。；

• $x(1-x)y^{″}+\{\gamma -(\alpha +\beta +1)x\}{y}^{\prime }-\alpha \beta y=0$

概要

上記微分方程式の冪級数解を$y=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_m{x}^m$ と置いて項別微分したら

$y^{\prime }=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}m{c}_m{x}^{m-1},y^{″}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}m(m-1)c_m{x}^{m-2}$

となるが、これらをガウスの超幾何微分方程式に代入して$x^m$の項の係数を零とおけば

$(m+1)m{c}_{m+1}-m(m-1)c_m+\gamma (m+1)c_{m+1}-(\alpha +\beta +1)m{c}_m-\alpha \beta y=0$

が成り立ち、$c_{m+1}$に関して解けば漸化式

• $c_{m+1}=\frac{(m+\alpha )(m+\beta )}{(m+1)(m+\gamma )}{c}_m$

が得られる。

この漸化式の番号にm=0,1,2…と値を代入していって逐次係数を求めてゆけば

• $c_m=\frac{1}{m!}\cdot \frac{(\alpha {)}_m(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_m}{c}_0$

となる。ここで

$(x{)}_m=x(x+1)(x+2)\cdots (x+m-1)$

である。

最初の係数を$c_0=1$と置いて上記漸化式を上述の冪級数解に代入したら

• $y=F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_m}\frac{x^m}{m!}$

なる解が導かれる。この右辺の冪級数はガウスの超幾何級数と呼ばれている。

斯くの如き級数で表される関数をガウスの超幾何関数という。

★ルジャンドルの微分方程式との関係★

ルジャンドルの微分方程式

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$

に対して変数変換$t=(1-x)/2$を施すと

$\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{2},y^{\prime }=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{2}\dot{y}$

$y^{″}=\frac{d{y}^{\prime }}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dt}(-\frac{1}{2}\dot{y})\cdot (-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\ddot{y}$

及び$x=1-2t$より

$1-x^2=4t(1-t),-2x=-2(1-2t)$

が得られるが、これらをルジャンドルの方程式に代入すれば

$t(1-t)\ddot{y}+(1-2t)\dot{y}+n(n+1)y=0$

が成り立つ。(※ドット「•」は変数tに関する微分を表わす。オイラーの微分方程式と同じ要領ね☆)これとガウスの微分方程式の係数を比較すると

$\gamma =1,\alpha +\beta =1,-\alpha \beta =n(n+1)$

が言える。これより

$-\alpha \beta =-\alpha (1-\alpha )={\alpha }^2-\alpha =n^2+n$

となり

$\begin{array}{rl}{\alpha }^2-n^2-\alpha -n& =(\alpha +n)(\alpha -n)-(\alpha +n)\\ & =(\alpha +n)(\alpha -n-1)\\ & =0\end{array}$

が求まる。従って$\alpha =n+1,-n$が得られる。

ゆえにルジャンドル多項式はガウスの超幾何関数を用いて

• $P_n(x)=F(n+1,-n,1;\frac{1-x}{2})$

と表わせる事が分かった。//

関連項目

• ルジャンドルの微分方程式