ガウスの微分方程式

数学の解析学分野に於けるガウスの微分方程式（またはガウスの超幾何微分方程式）とは以下の形で与えられる2階線形微分方程式である。；

• $x(1-x)y''+\{\gamma -(\alpha +\beta +1)x\}y'-\alpha \beta y=0$

概要

上記微分方程式の冪級数解を$y=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}x^{m}$ と置いて項別微分したら

$y'=\sum _{m=1}^{\infty }mc_{m}x^{m-1},y''=\sum _{m=2}^{\infty }m(m-1)c_{m}x^{m-2}$

となるが、これらをガウスの超幾何微分方程式に代入して$x^{m}$の項の係数を零とおけば

$(m+1)mc_{m+1}-m(m-1)c_{m}+\gamma (m+1)c_{m+1}-(\alpha +\beta +1)mc_{m}-\alpha \beta y=0$

が成り立ち、$c_{m+1}$に関して解けば漸化式

• $c_{m+1}={\frac {(m+\alpha )(m+\beta )}{(m+1)(m+\gamma )}}c_{m}$

が得られる。

この漸化式の番号にm=0,1,2…と値を代入していって逐次係数を求めてゆけば

• $c_{m}={\frac {1}{m!}}\cdot {\frac {(\alpha )_{m}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m}}}c_{0}$

となる。ここで

$(x)_{m}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+m-1)$

である。

最初の係数を$c_{0}=1$と置いて上記漸化式を上述の冪級数解に代入したら

• $y=F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m}}}{\frac {x^{m}}{m!}}$

なる解が導かれる。この右辺の冪級数はガウスの超幾何級数と呼ばれている。

斯くの如き級数で表される関数をガウスの超幾何関数という。

★ルジャンドルの微分方程式との関係★

ルジャンドルの微分方程式

$(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$

に対して変数変換$t=(1-x)/2$を施すと

${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{2}},y'={\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{2}}{\dot {y}}$

$y''={\frac {dy'}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {d}{dt}}\left(-{\frac {1}{2}}{\dot {y}}\right)\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{4}}{\ddot {y}}$

及び$x=1-2t$より

$1-x^{2}=4t(1-t),-2x=-2(1-2t)$

が得られるが、これらをルジャンドルの方程式に代入すれば

$t(1-t){\ddot {y}}+(1-2t){\dot {y}}+n(n+1)y=0$

が成り立つ。(※ドット「•」は変数tに関する微分を表わす。オイラーの微分方程式と同じ要領ね☆)これとガウスの微分方程式の係数を比較すると

$\gamma =1,\alpha +\beta =1,-\alpha \beta =n(n+1)$

が言える。これより

$-\alpha \beta =-\alpha (1-\alpha )=\alpha ^{2}-\alpha =n^{2}+n$

となり

${\begin{aligned}\alpha ^{2}-n^{2}-\alpha -n&=(\alpha +n)(\alpha -n)-(\alpha +n)\\&=(\alpha +n)(\alpha -n-1)\\&=0\end{aligned}}$

が求まる。従って$\alpha =n+1,-n$が得られる。

ゆえにルジャンドル多項式はガウスの超幾何関数を用いて

• $P_{n}(x)=F\left(n+1,-n,1;{\frac {1-x}{2}}\right)$

と表わせる事が分かった。//

関連項目

• ルジャンドルの微分方程式