非隠蔽定理

非隠蔽定理とはデコヒーレンスによって系が失った量子情報を周囲の空間のサブスペースに再配置されることを記述するものである。この情報保存は量子力学の線形性とユニタリー性の広範囲な帰結である。情報はいかなる既知の過程においても消滅することはない。これはブラックホールの情報パラドックスや情報を失う傾向のあらゆる過程に影響を与える。非隠蔽定理は、既存の情報を破壊してしまうような物理的過程の不完全性に対しても堅牢である。

この定理は、2007年にサミュエル・L・ブラウンスタインとアルン・K・パティによって証明され、2011年に核磁気共鳴画像法を用いて確認された。この実験では、タ隠逸の量子ビットが完全なランダム化を受けた。その純粋状態では無作為に混合された状態に変換された。その後、定理が示唆するように、周囲のヒルベルト空間における教区所的な一様返還を用いて、補助量子ビットから失われた情報が復元された。これにより量子系における情報保存が初めて実証された。

定義

$|\psi \rangle$をヒルベルト空間における任意の量子状態とし、$|\psi \rangle \langle \psi |\rightarrow \rho$という物理的変換過程が起こり、$\rho =\sum {k}p_{k}|k\rangle \langle k|$になるとする。

一般性を失うことなく、この写像はユニタリーであり、周囲の状態は純粋であると仮定できる。システムの最終状態$\rho$が初期状態$\psi$から独立している場合、拡張ヒルベルト空間におけるこの写像は次の形になる。

$|\psi \rangle \otimes |A\rangle \rightarrow \sum _{k}{\sqrt {p_{k}}}|k\rangle \otimes (|q_{k}\rangle \otimes |\psi \rangle \oplus 0)$

ここで、$|A\rangle$は環境の初期状態であり、$q_{k}$は周囲のヒルベルト空間における直交系を形成し、$\oplus 0$は$\{|q_{k}\langle \otimes |\psi \rangle \}$が環境ヒルベルト空間のサブ空間のみを広がることを表す。

非隠蔽定理の証明は、量子力学の線形性とユニタリーに基づく。これは、写像の適用後に、系と環境の純粋で通常は絡み合った状態をシュミット分解して利用する。一般的に、シュミット基底(環境内)は常に$\{|q_{k}\rangle \otimes |\psi \rangle \}$として選選べることは、系内の状態はすべての入力に対して同じであるべきであり、写像全体がユニタリーであることから導出される。最終状態に欠けている元の情報は、周囲のヒルベルト空間のサブスペースに残す。元の情報は、系と環境の間には相関関係がないことを留意する必要がある。これが、非隠蔽定理の本質である。

原理的には、環境から失われた情報は、周囲のヒルベルト空間にのみ作用する局所一様返還によって復元できる。非隠蔽定理は、量子情報の性質に関する新たな知見をもたらした。例えばある系から古典情報が消失した場合、それは別の系に移送されるか、一対のビット列間の相関関係に隠蔽される。しかし、量子情報は2つのサブ系間の相関関係の中に完全に隠蔽することはできない。量子力学では、量子状態をそのサブ系の1つから完全に隠蔽する方法は1つしかなく、それは、あるサブ系から失われた量子状態は、他のサブ系に移行するということである。

量子情報の保存

自然科学は保存則に基づく。これら法則はエネルギー、運動量、電荷、その他多くの保存量に適用され、系内の量子情報も含まれる。例えば、エネルギー保存則は、閉系(宇宙など)における全エネルギーは変化しないと記述される。古典物理学では、情報は複製や削除が可能である。しかし量子物理学では量子情報は保存量である。その扱いは、複製不可能定理や削除不可能定理だけでなく、非隠蔽定理によっても制限される。

これは、物理系に関する全ての関連情報を含む波動関数が、ユニタリーな時間発展において1つのヒルベルト空間から別のヒルベルト空間に移動するときに保存されることを示す。

量子系におけるエントロピーの保存は、量子状態と混合状態がユニタリー進化中に変化しないため、情報も保存されることを示唆する。