行列値関数

行列値関数とは行列を変数に持つ特殊関数の総称である。

概要

n次正方行列Aと複素数上の関数fに対して、

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$

ならば、

$f(A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{A}^n$

と定義するのが自然である。ただし、$A^0=E$(Eは単位行列)。 なお、一般に行列のn乗を計算するには対角化などがいる。
fがテイラー展開などのベキ級数表示を持たない場合は、別の方策が必要である。

例

行列指数関数

$e^A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{A}^n$

n次正方行列X,Y、複素数a,b、n次の単位行列と零行列E,Oに対して以下の性質をもつ。

• $e^O=E$(0乗)
• $e^{aX}{e}^{bX}=e^{(a+b)X}$(指数法則的)
• $e^X{e}^{-X}=E$(指数法則的)
• $XY=YX$のとき$e^X{e}^Y=e^Y{e}^X=e^{X+Y}$(指数法則的)
• $Y$が正則行列のとき$e^{YX{Y}^{-1}}=Y{e}^X{Y}^{-1}$
• $e^{(X^T)}=(e^X{)}^T$(転置と交換可)
  • よって、$X$が対称行列のとき$e^X$も対称行列であり、Xが交代行列のとき$e^X$は直行行列である。
• $e^{(X^{*})}=(e^X{)}^{*}$(エルミートと交換可)
  • よって、$X$がエルミート行列のとき$e^X$もエルミート行列であり、Xが歪エルミート行列のとき$e^X$はユニタリ行列である。

また、行列微分方程式の解に出現する。

$\frac{d}{dx}y(x)=Ay(x),y(0)=y_0$

の解は、

$y(x)=e^{At}{y}_0$

行列の三角関数

$\cos (A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{A}^{2n}$

$\sin (A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{A}^{2n+1}$

行列の対数関数

行列指数関数の逆関数的に定義される。つまり、

$B=\log (A)(A=e^B=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{B}^n)$

与えられた行列が対数を持つための必要十分条件は、それが正則行列であること。
複素数の場合と同様に、行列の対数はしばしば一意ではない。

行列の平方根

行列の積の逆関数的に定義される。つまり、 行列の積に関して$B^2$が$A$に等しいときに、BをAの行列の平方根という。
行列の対数関数と同様に、行列の平方根はしばしば一意ではない。