準波動ベクトル

準波動ベクトルとは、結晶格子などの周期場における粒子または準粒子の状態を特徴づけるベクトル量である。周期系における粒子に対しては、空間的に均質な媒質における波動ベクトルと同様の役割を果たす。準波動ベクトル$\overrightarrow{k}$は粒子の準運動量$\overrightarrow{p}$と換算プランク定数$\hslash$を用いて、

$\overrightarrow{k}=\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash }$

空間的に周期的な媒質では、波動関数は周期的である。

$\psi (\overrightarrow{r}+{\overrightarrow{a}}_j)=\exp (i\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{a}}_j)\psi (\overrightarrow{r})$ - (1)

• ${\overrightarrow{a}}_j$=格子並進ベクトル

結晶が$N_1\times N_2\times N_3$個の原子からなる直方体の形をしているとすると、$n$番目の原子についてボルン=フォン・カルマン境界条件が満たされているなら、

$\psi ({\overrightarrow{r}}_n)=\psi ({\overrightarrow{r}}_n+N_1\cdot {\overrightarrow{a}}_1)=\psi ({\overrightarrow{r}}_n+N_2\cdot {\overrightarrow{a}}_2)=\psi ({\overrightarrow{r}}_n+N_3\cdot {\overrightarrow{a}}_3)$

すると、(1)の条件から次の式が得られる。

$(\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{a}}_j)=\frac{2\pi }{N_j}\cdot p_j$

• $p_j$=整数