力学的エネルギー保存則

物理学のニュートン力学に於ける力学的エネルギー保存則(または力学的エネルギー保存の法則)とは運動エネルギーと位置エネルギーの和である力学的エネルギーが一定であるとゆー事を主張する法則である。

概要[編集]

に於いて外力が位置にしか依存しない即ち

F = F (r)

が成り立っているとする。

(1)の両辺に(スカラー積の形で) $\dot{r}$ を掛けると

m \dot{r} \cdot \ddot{r} = F \cdot \dot{r}

となる。ここで $v = \dot{r}$ (これは速度)とおいて上式の両辺を積分したら

\int m v \cdot \ddot{r} d t = \int F \cdot \dot{r} d t + C

となるが $d v / d t = \ddot{r}$ (これは速度の時間微分即ち加速度)より上記積分は

\int m v \cdot d v = \int F \cdot d r + C

と書ける(置換積分)。左辺の積分は簡単に計算できて

\frac{1}{2} m v^{2} = \int F \cdot d r + C

が導かれる。ここで

K = \frac{1}{2} m v^{2}, U = - \int F \cdot d r, C = E

とおけば等式

が得られる。これが所謂力学的エネルギー保存則である。 Kは運動エネルギー、Uは位置エネルギー(ポテンシャル)を表わしている。積分定数Cを書き換えたものであるEは全エネルギー表わす。

前節で示したように位置エネルギーUには

U = - \int F \cdot d r

とゆー関係が成り立つが、ここで

d U = - F \cdot d r

とゆー式が成立する事が分かる。この左辺のdUは全微分を用いて

\begin{aligned} d U & = \frac{\partial U}{\partial x} d x + \frac{\partial U}{\partial y} d y + \frac{\partial U}{\partial z} d z \\ = \nabla U \cdot d r \end{aligned}

と表わせる。これから

とゆー関係式が導ける。上記関係式を満たす外力 $F$ を保存力と呼ぶ。