平行軸の定理

平行軸の定理とは、回転軸が重心$G$を通る場合に慣性モーメントは最小値$I_{G}$をとり、軸が重心から距離$d$離れている場合にその軸の周りの慣性モーメント$I$は全質量$M$を用いて$I=I_{G}+Md^{2}$であるという定理。

導出

密度を$\rho$、軸からの微小体積の位置ベクトルを${\boldsymbol {r}}$、重心からの微小体積の位置ベクトルを${\boldsymbol {r'}}$、軸からの重心の位置ベクトルを${\boldsymbol {r_{G}}}$とする。

${\begin{aligned}I&=\int _{V}\rho {\boldsymbol {r}}^{2}dV\\&=\int _{V}\rho ({\boldsymbol {r'}}+{\boldsymbol {r_{G}}})^{2}dV(\because {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r'}}+{\boldsymbol {r_{G}}})\\&=\int _{V}\rho r'^{2}dV+2{\boldsymbol {r_{G}}}\int _{V}\rho r'dV+r_{G}^{2}\int _{V}\rho dV\\&=I_{G}+0+r_{G}^{2}M\\&=I_{G}+Md^{2}\end{aligned}}$

位置ベクトルを分解して、内積を各項に分けて定数を積分の前に出すと、第1項は$I_{G}$そのものになり、第2項は重心の定義より積分=0になり、第3項は重心から距離の2乗に全質量(=積分)を掛けたものになる。

また、$d^{2}\geq 0$なので$I\geq I_{G}$となり、これらの等号成立条件は重心を通ることなので、慣性モーメントは重心を軸が通るときに最小になる。

例

円板

半径$a$で密度一定の質量$M$の厚さを無視できる円板を考える。 すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は$\rho ={\frac {M}{\pi a^{2}}}$になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント$I_{Gz}$は、

$I_{G,z}=\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{2}drrd\theta =\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{3}d\theta dr={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

重心から半径方向に$d$離れた点を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント$I_{d,z}$は、平行軸の定理より

$I_{d,z}=I_{G,z}+Md^{2}=M\left({\frac {1}{2}}a^{2}+d^{2}\right)$

関連項目

• 重心
• 慣性モーメント
• 垂直軸の定理