二重数

二重数とは、実数と$ϵ({ϵ}^2=0)$の組み合わせ(和もしくは差)で表される数である。 双対数やハイパーデュアルナンバーとも。

概要

二重数を$z$とすると、$z=a+bϵ$($a,b$は実数、$ϵ({ϵ}^2=0)$は実数ではない)で表される。

交代的複素数平面

二重数を座標で表したのが交代的複素数平面である。その平面上で

$z{z}^{*}=1$

を単位円とする。$z=a+bϵ$の共役の定義$z^{*}=a-bϵ$から

$z{z}^{*}=a^2=1$

なので、単位円は

$a=\pm 1$

という2直線になり、単位円と言っておきながら直線、という直感とは異なる結果になる。

四則計算

$a,b,c,d$を実数とし、$ϵ$を虚数単位(?)とする。

$(a+bϵ)+(c+dϵ)=(a+c)+(b+d)ϵ$

$(a+bϵ)-(c+dϵ)=(a-c)+(b-d)ϵ$

$(a+bϵ)\times (c+dϵ)=ac+(ad+bc)ϵ$

$\frac{a+bϵ}{c+dϵ}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}ϵ$(ただし、$c\ne 0$)

行列表現

行列を用いると二重数は、

$ϵ=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ \end{array}\right),a+bϵ=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\\ \end{array}\right)$

と表現することができる。 二重数の和と積は、通常の行列の和と行列の積によって計算することができ、両演算は可換かつ結合的である。
差は和と同様であり、商は逆行列との積となる。逆数や除法が定義できるかの条件は、逆行列が存在するかの条件と対応する。

応用

ガリレイ変換

二重数平面はガリレイ不変量の研究において時空を表すのに利用できる。 時間$t$と位置$x$の速度$v$についてのガリレイ変換は行列で表せて、

$(t^{\text{'}},x^{\text{'}})=(t,x)\left(\begin{array}{cc}0& v\\ 0& 0\\ \end{array}\right)$

だが、これは#行列表現と同じになっている。 (ただし、'は変換後を表していて、微分ではない)

自動微分

多項式関数あるいはべき級数展開がわかっている実数関数の定義域を実数から二重数へ直接に拡張して

$P(a+bϵ)=P(a)+b{P}^{\text{'}}(a)ϵ$

を得る。 ただし 、$P^{\text{'}}$は$P$の導函数である。二重数上で計算したことにより、自動で微分の計算ができるようになっている。 二重数の性質によって、テイラー展開の0次項はそのまま残り、微分である1次項に$ϵ$がかかっていて、2次項以降が0になっている、と考えるとわかりやすい。

二重数に拡張された関数の例

• 指数関数$e^{ϵ}=1+ϵ,e^{a+bϵ}=e^a(1+bϵ)$
• 余弦関数$\cos (ϵ)=1,\cos (a+bϵ)=\cos (a)-b\sin (a)ϵ$
• 正弦関数$\sin (ϵ)=ϵ,\sin (a+bϵ)=\sin (a)+b\cos (a)ϵ$
• 双曲線余弦関数$\cosh (ϵ)=1,\cosh (a+bϵ)=\cosh (a)+b\sinh (a)ϵ$
• 双曲線正弦関数$\sinh (ϵ)=ϵ,\sinh (a+bϵ)=\sinh (a)+b\cosh (a)ϵ$

関連項目

• 複素数
• 分解型複素数
• 二重四元数