ハミルトニアン

粒子系のハミルトニアンもしくはハミルトニアン関数 $ℋ ({\vec{q}}_{1}, {\vec{q}}_{2}, \dots, {\vec{p}}_{1}, {\vec{p}}_{2}, \dots, t)$ とは、その粒子の総エネルギーであり、一般化された位置と運動量、及び必要に応じて時間の関数である。この関数はウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなんで名づけられた。これは系はラグランジュ力学のルジャンドル変換である。

定義[編集]

ハミルトニアン関数は以下のように定義される。

ℋ (𝐪, 𝐩, t) : = {\sum_{i = 1}^{n} {\dot{q}}_{i} p_{i}} - ℒ (𝐪, \dot{𝐪}, t), mit \dot{𝐪} = \dot{𝐪} (𝐪, 𝐩, t)

これは一般化座標とその速度に一般化速度 $\dot{𝐪} = ({\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, \dots, {\dot{q}}_{n})$ に関するラグランジュ関数 $ℒ (t, 𝐪, \dot{𝐪})$ のルジャンドル変換から導出される。

ℋ (t, 𝐪, 𝐩) = {\sum_{i = 1}^{n} {\dot{q}}_{i} p_{i}} - ℒ (t, 𝐪, \dot{𝐪})

この時右側の速度 $\dot{𝐪}$ が持つ関数では

\dot{𝐪} (t, 𝐪, 𝐩)

これは一般化運動量を定義するときに得られる。

p_{i} (𝐪, 𝐩, t) : = \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} (𝐪, \dot{𝐪}, t), i = 1, \dots, n

速度に応じて分解する。

ハミルトニアン関数の全微分は次のようになる。

d ℋ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial ℋ}{\partial q_{i}} d q_{i} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial ℋ}{\partial p_{i}} d p_{i} + \frac{\partial ℋ}{\partial t} d t

積の法則により、

d ℋ = \sum_{i = 1}^{n} (p_{i} d {\dot{q}}_{i} + {\dot{q}}_{i} d p_{i} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{i}} d q_{i} - \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} d {\dot{q}}_{i}) - \frac{\partial ℒ}{\partial t} d t,

ただし、一般化運動量 $\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} = p_{i}$ の定義により、括弧内の最初と最後の項は合計が0となるので、以下の式が成り立つ。

d ℋ = \sum_{i = 1}^{n} ({\dot{q}}_{i} d p_{i} - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{i}} d q_{i}) - \frac{\partial ℒ}{\partial t} d t

上記の全微分を使用して、ハミルトニアン関数の偏微分は次のようになる。

\frac{\partial ℋ}{\partial p_{i}} = {\dot{q}}_{i}

\frac{\partial ℋ}{\partial q_{i}} = - \frac{\partial ℒ}{\partial q_{i}} = - {\dot{p}}_{i}

\frac{\partial ℋ}{\partial t} = - \frac{\partial ℒ}{\partial t}

ハミルトニアン関数の時間に関する全微分は偏微分は同一である。

\begin{aligned} \frac{d ℋ}{d t} & = \sum_{i = 1}^{f} (\frac{\partial ℋ}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i} + \frac{\partial ℋ}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i}) + \frac{\partial ℋ}{\partial t} \\ = \sum_{i = 1}^{f} ({\dot{q}}_{i} {\dot{p}}_{i} - {\dot{p}}_{i} {\dot{q}}_{i}) + \frac{\partial ℋ}{\partial t} \\ = \frac{\partial ℋ}{\partial t} \end{aligned}

ハミルトニアン関数が時間 $t$ に依存しない場合その値は量に依存し、保存量となる。

ℋ \neq ℋ (t) \Rightarrow \frac{d ℋ}{d t} = \frac{\partial ℋ}{\partial t} = 0 \Rightarrow ℋ = k o n s t .

ハミルトニアン関数は、標準方程式を通して粒子の位置と運動量の時間発展を決定する。

{\dot{q}}_{k} = \frac{\partial ℋ}{\partial p_{k}}

{\dot{p}}_{k} = - \frac{\partial ℋ}{\partial q_{k}}

同様に、ハミルトン演算子は量子力学における時間の変化を決定する。多くの場合、ハミルトン関数から、 $ℋ (t, 𝐪, 𝐩)$ の代数式を、カノニカル運動量演算子関係を満たす演算 $𝐪$ および $𝐩$ の関数として読み取ることで、カノニカル量子化によってハミルトン演算子を得ることができる。