正弦波

物理学の波動関連分野に於ける正弦波とは正弦関数や余弦関数で表わされる波である。

概要

正弦波は基本的には1次元の波動方程式の解の一つとして

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \phi(x,t)=A\sin(\omega t-kx)}

というニ変数関数で表わされる。これを変数xとtに関して偏微分すれば偏微分方程式

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} }

を満たす事が容易に分かる(ただしω=ckである)。

正弦波に纏わる公式

上記の正弦波の式φ(x,t)のtをt+Tに置きかえると

${\begin{aligned}\phi (x,t+T)&=A\sin(\omega (t+T)-kx)\\&=A\sin(\omega t-kx+\omega T)\end{aligned}}$

となるが正弦関数は周期2πの関数だから

$\omega T=2\pi ,\therefore \omega ={\frac {2\pi }{T}}$

が成り立たねばならない。
このωとTはそれぞれ角振動数、(時間的な)周期と呼ばれる。

次に振動数について考えよう。単位時間当たりの振動の回数を振動数と呼びνで表わす。そしたら1回振動するのにかかる時間が周期Tな訳だから

$\nu ={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }},\therefore \omega =2\pi \nu$

が成り立つ事が分かる。

次にφ(x,t)のxをx+λに置きかえたら

${\begin{aligned}\phi (x+\lambda ,t)&=A\sin(\omega t-k(x+\lambda ))\\&=A\sin(\omega t-kx-k\lambda )\end{aligned}}$

となる。これよりωTのときと同様に

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k\lambda=2\pi,\therefore k=\frac{2\pi}{\lambda}}

が得られる。上記のkとλはそれぞれ波数、波長と呼ばれる物理量であり、特に波長λは(距離的空間的な)周期を表わす量と言える(波の山〜山、谷〜谷の長さを表わす)。

正弦波の位相速度cは

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\lambda}{T}=\lambda \cdot \nu, \therefore c=\lambda \nu}

で与えられる。

ちなみに言い忘れてたが正弦波の式の係数Aの事を振幅と呼ぶ。

正弦波の表れる所

• 振り子を揺らした時、球の横方向の位置は正弦波になる。ただし、一番下付近で小さく揺らした時に限る。
• 交流発電機が発生させる電圧は正弦波になる。