グロス=ピタエフスキー方程式

グロス=ピタエフスキー方程式とは、外部ポテンシャル$V(\overrightarrow{r},t)$中の量子力学的多粒子系の凝縮状態$\psi (\overrightarrow{r},t)$の時間的変化を表す偏微分方程式であり、次のように表される。

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2+V(\overrightarrow{r},t)+g|\psi {|}^2]\psi$

関数$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$は相転移の秩序パラメータである。変数$g$は、相互作用が引力($g<0$)か斥力($g>0$)かを表す。

グロス=ピタエフスキー方程式はボーズ=アインシュタイン凝縮体、超伝導体、超流動体などのボソン系量子流体の理論的取り扱いにおいて重要な役割を果たす。この方程式には、とりわけソリトン解や渦が含まれる。これは非線形項において残りのボソンの平均場との相互作用を考慮した分子場近似に相当する。

電気的に帯電した粒子(電荷$q$、ベクトル位置エネルギー$\overrightarrow{A}$)も考慮に入れる場合、運動量演算子を次のように置き換える必要がある:$-i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\to -i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+q\overrightarrow{A}$。この場合、グロス=ピタエフスキー方程式はギンツブルク=ランダウ方程式となり、これは超伝導体の現象論記述に用いられる。

解釈

グロス=ピタエフスキー方程式の自由度$\psi (\overrightarrow{r},t)$は古典的な複素値場であり、場演算子$\hat{\psi }(\overrightarrow{r},t)$の平均値として解釈することができる。多くの粒子が同じ量子力学的単一粒子状態にある場合、場演算子をその平均値で近似することは許容されるが、これはボソンの場合のみ可能である。量子力学の枠組みにおいて、この意味でのグロス=ピタエフスキー方程式はマクスウェル方程式に相当する。

$g=0$の場合、非線形はなくなり、単一粒子シュレーディンガー方程式と形式的に一致する。ただし、シュレーディンガー方程式の自由度は粒子の座標である。第二量子化の形式論を用いれば、シュレーディンガー方程式からグロス=ピタエフスキー方程式を導出することができる。

エネルギーと分散

グロス=ピタエフスキー方程式で記述される系のエネルギー密度は次の式で与えられる。

$ϵ[\psi ]=\frac{{\hslash }^2}{2m}|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\psi {|}^2+V|\psi {|}^2+\frac{1}{2}g|\psi {|}^4$

分散関係は次の通り、

$E=\hslash \omega =\sqrt{\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}(\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+2g|\psi {|}^2)}$

関連項目

• 量子流体
• 超伝導体