キャリア連続の方程式

キャリア連続の方程式は、半導体中のキャリアの濃度分布を記述する微分方程式である。特に、少数キャリアについて扱うことを明示する場合には、少数キャリアの連続の方程式とも。

概要

簡単のため、1次元の分布について考える。
式は以下のようになる。ただし、

• 考える1次元方向をxとして、時間をtとする。
• 電子の濃度をn、正孔の濃度をpとして、下付き添え字が0であるものは熱平衡の濃度とする。
• 各キャリアの拡散定数をD、移動度をμ、再結合寿命時間をτとして、下付き添え字でキャリアを示す(電子はelectonのe,正孔はholeのh)。
• キャリア生成速度をGとする。(通常、電子の正孔は対として生成されるので、添え字は書かないものとした。)
• 電界をEとする。

電子:${\frac {\partial n}{\partial t}}=D_{e}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+\mu _{e}E{\frac {\partial n}{\partial x}}-{\frac {n-n_{0}}{\tau _{e}}}+G$

正孔:${\frac {\partial p}{\partial t}}=D_{h}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+\mu _{h}E{\frac {\partial p}{\partial x}}-{\frac {p-p_{0}}{\tau _{h}}}+G$

以上の式では、

• 第1項は拡散を表している。
• 第2項はドリフトを表している。
• 第3項は再結合を表している。
• 第4項は生成を表している。

ここで、第1項(拡散項)と第2項(ドリフト項)を電流密度Jで表せば、式は簡単になる。
電流密度の式は以下のようになる。式は以下のようになる。ただし、

• 電気素量をeとする。
• 電流密度をJとして、下付き添え字でキャリアを示す。

電子電流:$J_{e}=eD_{e}{\frac {\partial n}{\partial x}}+en\mu _{e}E$

正孔電流:$J_{h}=eD_{h}{\frac {\partial p}{\partial x}}-en\mu _{h}E$

よって、キャリア連続の方程式は以下のように書き換えられる。

電子:${\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial J_{e}}{\partial x}}-{\frac {n-n_{0}}{\tau _{e}}}+G$

正孔:${\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {1}{h}}{\frac {\partial J_{h}}{\partial x}}-{\frac {p-p_{0}}{\tau _{h}}}+G$

この新たな式の第1項は濃度勾配に比例する粒子の流れを表している。

アインシュタインの関係式

拡散定数と移動度の間にはアインシュタインの関係式(アインシュタイン-スモルコフスキーの関係式)という関係式が成立する。
例えば電子におけるアインシュタインの関係式は以下のようになる。ただし、

• ボルツマン定数をkBとする。
• 絶対温度をTとする。

電子:$D_{e}={\frac {k_{B}T}{e}}\mu _{e}$

この式から拡散係数は移動度と絶対温度に比例するとわかる。(電気素量とボルツマン定数は定数つまり固定値)
「移動しやすさと拡散しやすさが比例すること」も「温度の高さと拡散しやすさが比例すること」も直感的にわかりやすい。

関連項目

• 粒子数の保存則
• 電荷保存則