よみもの:数学独自研究ひろば

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本稿は筆者の数学に於ける独自研究等を披瀝する広場です☆有意義な加筆修正は大歓迎ですが根拠に乏しい除去などは何卒御遠慮下さいませ。

オイラーの微分方程式に例のアレを施すとどうなる⁉︎

みんな大好きラプラス変換の公式の1つ

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathcal{L}\{x^n f(x) \}=(-1)^n \frac{d^n}{ds^n}\mathcal{L}\{f(x) \} }

を見て超暇人な聡明なエンペディアンの皆さんは

「あれ？これひょっとしてオイラーの微分方程式解くんに使えんじゃね？」

って思われたんじゃないでしょうか？オイラーの微分方程式も定数係数の線形微分方程式みたいにラプラス変換使って解けたらクールでかっこいいですよね♪

…っちゅー訳で♡(どーゆー訳だ…)以下では実際にオイラーの微分方程式に上述の公式を適用したら一体何が起きるのか見てゆきたいと思います☆

☆以下の微分方程式を例にとってちょっぴり考察してみましょう☆；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2y''-8xy'+18y=0}

この方程式に上記公式を当て嵌めると

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\{y'' \} -8 \cdot (-1)^1 \frac{d^1}{ds^1}\mathcal{L}\{y' \}+18\mathcal{L}\{y \}}

より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\{y'' \} +8\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{y' \}+18\mathcal{L}\{y \}=0 }

が成り立ちます。ここでラプラス変換の微分法則を用いると

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^2}{ds^2}[s^2\mathcal{L}\{y \}-sy(0)-y'(0)]+8\frac{d}{ds}[s\mathcal{L}\{y \}-y(0)]+18\mathcal{L}\{y \} }

が言えますね。

で、計算面倒ですけどこれ微分したら

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle s^2\frac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\{y \}+12s\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{y \}+28\mathcal{L}\{y \}=0 }

が得られます。ここで

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F=F(s)=\mathcal{L}\{y \}}

と置けば上記方程式は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle s^2 F''+12sF'+28F=0}

っちゅー形に書けます…ってこれオイラーの微分方程式じゃん！Σ(；ﾟДﾟ)駄目じゃん‼︎

…っちゅー訳でオイラーの微分方程式をラプラス変換したら実に皮肉な事にオイラーの微分方程式になっちゃう事が判明しました…即ちオイラーの微分方程式はラプラス変換では解けないちゅー訳ですね…諸行無常嗚呼無情…orz

仕方無い…ほなオイラーの微分方程式の公式使てこれ解いてみよか…。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\ddot F-\dot F)+12\dot F+28F=0}

より特性方程式は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda^2+11\lambda+28=(\lambda+4)(\lambda+7)=0}

これより一般解は次式で与えられまんがな。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F=c_1e^{-4t}+c_2e^{-7t}=c_1s^{-4}+c_2s^{-7}}

ちな元の微分方程式

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2y''-8xy'+18y=0}

の一般解は構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=c_1x^3+c_2x^6} で与えられます。

これら2つの解は一見何の関係も無いようにも思えるんですが、後述するように実はそれなりに関連があります。

ラプラス変換の公式

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathcal{L}\{x^n \}=\frac{n!}{s^{n+1}}}

を用いて元の微分方程式の一般解をラプラス変換したら

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathcal{L}\{y \}=c_1\frac{3!}{s^4}+c_2\frac{6!}{s^7}=c'_1s^{-4}+c'_2s^{-7}}

となって微分方程式

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle s^2 F''+12sF'+28F=0}

の一般解が任意定数の違いを除いて再現できる事が分かります。ね、少しは関係有ったでしょ？

つまり上述に於ける2つのオイラーの微分方程式は実質的に同じ物って訳ですね。…従って悲しい哉以下の如き結論が導かれた事になります。

• 「オイラーの微分方程式ラプラス変換する意味全く無し(涙)」

…諸行無常よの…( ；∀；)(安駄婆風)

何故ゆえ度数法で三角関数の微積分やっちゃ駄目なの？

筆者は高校数学で初めて弧度法と出会ったとき弧度の定義「半径の長さに対する弧長」を目の当たりにして「成程自然な角度の定義だな☆」などと当時知ったかぶりに呟いていました。

しかしいざ改めて考えてみたら、何で弧度法でなきゃ駄目なの？度数法だけで数学ってできないもんなの？って思うよーになり、すごーく気になったんで少し調べてみる事にしました。

三角関数の極限の公式

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1}

の導き方は半径がrの扇形とその扇形に内接してる三角形とrを底辺とする直角三角形、計3つの図形の面積を比較して

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin{\theta}< \frac{1}{2}r^2 \theta< \frac{1}{2}r^2\tan{\theta} }

という不等式を作り、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta \to 0} の極限及び挟み討ちの原理を用いるとゆーものでした。

でもここで度数法しか使えないとしたら扇形面積は上記中辺の式では表せなくて、代わりに

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2}

と書かねばならない事になります。(弧度法なら360°=2πと表わせるんだけどね)

取り敢えず構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 360^\circ=\theta^*} とでもおいて上述の不等式の度数法版を作ると

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin{\theta}< \frac{\theta}{\theta^*}\pi r^2< \frac{1}{2}r^2\tan{\theta} }

となりますが、これを変形し構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta \to 0} の極限＆挟み討ちの原理を使えば

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=\frac{2\pi}{\theta^*}}

とゆー式が出来ちゃいます。

一方でもうひとつの三角関数の極限公式

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{1-\cos{\theta}}{\theta}=0}

はsinθ/θの(θ→0での)極限が1であろうがあるまいが

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta} &=\frac{1-\cos^2{\theta}}{\theta (1+\cos{\theta})} \\&=\frac{\sin^2{\theta}}{\theta (1+\cos{\theta})} \\&=\frac{\sin{\theta}}{\theta} \cdot \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} \\& \to 0 ,(\theta \to 0) \end{align}}

とゆー風に導けます。

それじゃ準備が整ったんで以下でこれら極限公式使って正弦と余弦の微分法の「度数法版」導いてみましょう。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin x} の微分は正弦加法定理と上述の極限公式より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align}(\sin{x})' &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin{(x+\Delta x)}-\sin x}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x \cos \Delta x+\cos x \sin \Delta x-\sin x}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \to 0}\left(\cos x \cdot \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}-\sin x \cdot \frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x} \right) \\&=\frac{2\pi}{\theta^{*}}\cos x \end{align}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore (\sin x)'=\frac{2\pi}{\theta^*}\cos x}

とゆー感じで求まります。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos x} の微分も余弦加法定理を用いる事により同様に計算できて

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore (\cos x)'=-\frac{2\pi}{\theta^*}\sin x}

っちゅー風に導かれます。

上述の式から分かるよーに正弦と余弦の微分公式(度数法版)は微分するたびに頭に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2\pi/\theta^*} っちゅー係数が掛かって非常に面倒臭い記述になってしまいます。この係数を1にしたいからわざわざ弧度とゆー概念を考えたって訳ですね。成程そーゆー事だったのか☆

そーいや遥か昔三省堂の新明解国語辞典で“弧度”を調べた時「三角函数を微分した時に煩わしい係数が出ないように考案された数学的存在」とかって書いてたよーな気がします。そっか、これの事言ってたんですね☆

Σ(；ﾟДﾟ)ええぇ〜⁉︎一般解が2つ〜⁉︎

先日以下の如き非線形連立微分方程式

• 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} \frac{dx}{dt}=x^2+y^2 \cdots (1) \\ \frac{dy}{dt}=2xy \cdots (2) \end{cases}}

を見て思ったんですが、この微分方程式って通常は(1)+(2)やって

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dt}(x+y)=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2}

とゆー式を作って構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle u=x+y} とかって置いて

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{du}{dt}=u^2 , \int \frac{1}{u^2} du=\int dt+c_1}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore u=x+y=-\frac{1}{t+c_1}}

っちゅー風に計算して、次に(1)-(2)やったあとに構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v=x-y} って置いて上述と同様に

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore v=x-y=-\frac{1}{t+c_2}}

って計算して、これらの辺々を足したり引いたりする事によって

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} x=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t+c_1}+\frac{1}{t+c_2} \right) \\ y= -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t+c_1}-\frac{1}{t+c_2} \right) \end{cases} }

っちゅー感じで解きますよね。普通はこーゆー風に一般解求めるんだけど、以下で途中で解き方を連立方程式の代入法に変えてみたらどーなるのか調べてみたいと思います。

記述を簡潔にするために構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tau=t+c_2} と略記して上記の

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v=x-y=-1/\tau}

を使い、変数t(≒τ)に関する微分を「・」で表わす事にすれば

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=y-\frac{1}{\tau}, \dot x=\dot y+\frac{1}{\tau^2} }

より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot x=x^2+y^2=\left(y-\frac{1}{\tau} \right)^2+y^2}

となりますが、これから

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot y+\frac{1}{\tau^2}=y^2-\frac{2y}{\tau}+\frac{1}{\tau^2}+y^2 }

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \therefore \dot y=-\frac{2y}{\tau}+2y^2}

が得られます。これはベルヌーイの微分方程式なんで構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \phi=y^{1-2}=y^{-1}} とおけば

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot \phi=-y^{-2}\cdot \dot y=\frac{2}{\tau}\phi-2}

となり

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot \phi-\frac{2}{\tau}\phi=-2}

とゆー風に1階線形微分方程式に変換できます。そして

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -\int \frac{2}{\tau} d\tau=-2\log{\tau}=\log{\tau^{-2}}} 、

$e^{\log {\tau ^{-2}}}=\tau ^{-2}$

より

${\begin{aligned}\phi &=\tau ^{2}\left\{-\int 2\tau ^{-2}d\tau +C'\right\}\ \\&=\tau ^{2}\left({\frac {2}{\tau }}+C'\right)=C'\tau ^{2}+2\tau \end{aligned}}$

ってな感じでφが求まります。で、φ=1/yだったから

$y={\frac {1}{\phi }}={\frac {1}{C'\tau ^{2}+2\tau }}$

とゆー風に未知関数y=y(τ)が導かれます。そんでこれから

$x={\frac {1}{C'\tau ^{2}+2\tau }}-{\frac {1}{\tau }}$

と関数x=x(τ)も得られます。

…御覧の通り前述の解法で得た一般解とはだいぶ形が違いますよね。でもこの解、検算してみたらちゃんと上述の連立微分方程式満たすんですよ…(困惑)

(-_-;)…上記の連立微分方程式って所謂解の一意性が成り立たんのでしょうかねぇ…。(私にとっては)今後の重要な研究課題です…💦