よみもの:数学独自研究ひろば

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本稿は筆者の数学に於ける独自研究等を披瀝する広場です☆有意義な加筆修正は大歓迎ですが根拠に乏しい除去などは何卒御遠慮下さいませ。

オイラーの微分方程式に例のアレを施すとどうなる⁉︎

みんな大好きラプラス変換の公式の1つ

• ${\mathcal {L}}\{x^{n}f(x)\}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}{\mathcal {L}}\{f(x)\}$

を見て超暇人な聡明なエンペディアンの皆さんは

「あれ？これひょっとしてオイラーの微分方程式解くんに使えんじゃね？」

って思われたんじゃないでしょうか？オイラーの微分方程式も定数係数の線形微分方程式みたいにラプラス変換使って解けたらクールでかっこいいですよね♪

…っちゅー訳で♡(どーゆー訳だ…)以下では実際にオイラーの微分方程式に上述の公式を適用したら一体何が起きるのか見てゆきたいと思います☆

☆以下の微分方程式を例にとってちょっぴり考察してみましょう☆；

$x^{2}y''-8xy'+18y=0$

この方程式に上記公式を当て嵌めると

$(-1)^{2}{\frac {d^{2}}{ds^{2}}}{\mathcal {L}}\{y''\}-8\cdot (-1)^{1}{\frac {d^{1}}{ds^{1}}}{\mathcal {L}}\{y'\}+18{\mathcal {L}}\{y\}$

より

${\frac {d^{2}}{ds^{2}}}{\mathcal {L}}\{y''\}+8{\frac {d}{ds}}{\mathcal {L}}\{y'\}+18{\mathcal {L}}\{y\}=0$

が成り立ちます。ここでラプラス変換の微分法則を用いると

${\frac {d^{2}}{ds^{2}}}[s^{2}{\mathcal {L}}\{y\}-sy(0)-y'(0)]+8{\frac {d}{ds}}[s{\mathcal {L}}\{y\}-y(0)]+18{\mathcal {L}}\{y\}$

が言えますね。

で、計算面倒ですけどこれ微分したら

$s^{2}{\frac {d^{2}}{ds^{2}}}{\mathcal {L}}\{y\}+12s{\frac {d}{ds}}{\mathcal {L}}\{y\}+28{\mathcal {L}}\{y\}=0$

が得られます。ここで

$F=F(s)={\mathcal {L}}\{y\}$

と置けば上記方程式は

$s^{2}F''+12sF'+28F=0$

っちゅー形に書けます…ってこれオイラーの微分方程式じゃん！Σ(；ﾟДﾟ)駄目じゃん‼︎

…っちゅー訳でオイラーの微分方程式をラプラス変換したら実に皮肉な事にオイラーの微分方程式になっちゃう事が判明しました…即ちオイラーの微分方程式はラプラス変換では解けないちゅー訳ですね…諸行無常嗚呼無情…orz

仕方無い…ほなオイラーの微分方程式の公式使てこれ解いてみよか…。

$({\ddot {F}}-{\dot {F}})+12{\dot {F}}+28F=0$

より特性方程式は

$\lambda ^{2}+11\lambda +28=(\lambda +4)(\lambda +7)=0$

これより一般解は次式で与えられまんがな。

$F=c_{1}e^{-4t}+c_{2}e^{-7t}=c_{1}s^{-4}+c_{2}s^{-7}$

ちな元の微分方程式

$x^{2}y''-8xy'+18y=0$

の一般解は$y=c_{1}x^{3}+c_{2}x^{6}$で与えられます。

これら2つの解は一見何の関係も無いようにも思えるんですが、後述するように実はそれなりに関連があります。

ラプラス変換の公式

• ${\mathcal {L}}\{x^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}$

を用いて元の微分方程式の一般解をラプラス変換したら

${\mathcal {L}}\{y\}=c_{1}{\frac {3!}{s^{4}}}+c_{2}{\frac {6!}{s^{7}}}=c'_{1}s^{-4}+c'_{2}s^{-7}$

となって微分方程式

$s^{2}F''+12sF'+28F=0$

の一般解が任意定数の違いを除いて再現できる事が分かります。ね、少しは関係有ったでしょ？

つまり上述に於ける2つのオイラーの微分方程式は実質的に同じ物って訳ですね。…従って悲しい哉以下の如き結論が導かれた事になります。

• 「オイラーの微分方程式ラプラス変換する意味全く無し(涙)」

…諸行無常よの…( ；∀；)(安駄婆風)

何故ゆえ度数法で三角関数の微積分やっちゃ駄目なの？

筆者は高校数学で初めて弧度法と出会ったとき弧度の定義「半径の長さに対する弧長」を目の当たりにして「成程自然な角度の定義だな☆」などと当時知ったかぶりに呟いていました。

しかしいざ改めて考えてみたら、何で弧度法でなきゃ駄目なの？度数法だけで数学ってできないもんなの？って思うよーになり、すごーく気になったんで少し調べてみる事にしました。

三角関数の極限の公式

• $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}=1$

の導き方は半径がrの扇形とその扇形に内接してる三角形とrを底辺とする直角三角形、計3つの図形の面積を比較して

${\frac {1}{2}}r^{2}\sin {\theta }<{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan {\theta }$

という不等式を作り、$\theta \to 0$の極限及び挟み討ちの原理を用いるとゆーものでした。

でもここで度数法しか使えないとしたら扇形面積は上記中辺の式では表せなくて、代わりに

${\frac {\theta }{360^{\circ }}}\pi r^{2}$

と書かねばならない事になります。(弧度法なら360°=2πと表わせるんだけどね)

取り敢えず$360^{\circ }=\theta ^{*}$とでもおいて上述の不等式の度数法版を作ると

${\frac {1}{2}}r^{2}\sin {\theta }<{\frac {\theta }{\theta ^{*}}}\pi r^{2}<{\frac {1}{2}}r^{2}\tan {\theta }$

となりますが、これを変形し$\theta \to 0$の極限＆挟み討ちの原理を使えば

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}={\frac {2\pi }{\theta ^{*}}}$

とゆー式が出来ちゃいます。

一方でもうひとつの三角関数の極限公式

• $\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos {\theta }}{\theta }}=0$

はsinθ/θの(θ→0での)極限が1であろうがあるまいが

${\begin{aligned}{\frac {1-\cos {\theta }}{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}{\theta }}{\theta (1+\cos {\theta })}}\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\theta (1+\cos {\theta })}}\\&={\frac {\sin {\theta }}{\theta }}\cdot {\frac {\sin {\theta }}{1+\cos {\theta }}}\\&\to 0,(\theta \to 0)\end{aligned}}$

とゆー風に導けます。

それじゃ準備が整ったんで以下でこれら極限公式使って正弦と余弦の微分法の「度数法版」導いてみましょう。

$\sin x$の微分は正弦加法定理と上述の極限公式より

${\begin{aligned}(\sin {x})'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin {(x+\Delta x)}-\sin x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left(\cos x\cdot {\frac {\sin \Delta x}{\Delta x}}-\sin x\cdot {\frac {1-\cos \Delta x}{\Delta x}}\right)\\&={\frac {2\pi }{\theta ^{*}}}\cos x\end{aligned}}$

$\therefore (\sin x)'={\frac {2\pi }{\theta ^{*}}}\cos x$

とゆー感じで求まります。

$\cos x$の微分も余弦加法定理を用いる事により同様に計算できて

$\therefore (\cos x)'=-{\frac {2\pi }{\theta ^{*}}}\sin x$

っちゅー風に導かれます。

上述の式から分かるよーに正弦と余弦の微分公式(度数法版)は微分するたびに頭に$2\pi /\theta ^{*}$っちゅー係数が掛かって非常に面倒臭い記述になってしまいます。この係数を1にしたいからわざわざ弧度とゆー概念を考えたって訳ですね。成程そーゆー事だったのか☆

そーいや遥か昔三省堂の新明解国語辞典で“弧度”を調べた時「三角函数を微分した時に煩わしい係数が出ないように考案された数学的存在」とかって書いてたよーな気がします。そっか、これの事言ってたんですね☆

Σ(；ﾟДﾟ)ええぇ〜⁉︎一般解が2つ〜⁉︎

先日以下の如き非線形連立微分方程式

• ${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+y^{2}\cdots (1)\\{\frac {dy}{dt}}=2xy\cdots (2)\end{cases}}$

を見て思ったんですが、この微分方程式って通常は(1)+(2)やって

${\frac {d}{dt}}(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$

とゆー式を作って$u=x+y$とかって置いて

${\frac {du}{dt}}=u^{2},\int {\frac {1}{u^{2}}}du=\int dt+c_{1}$

$\therefore u=x+y=-{\frac {1}{t+c_{1}}}$

っちゅー風に計算して、次に(1)-(2)やったあとに$v=x-y$って置いて上述と同様に

$\therefore v=x-y=-{\frac {1}{t+c_{2}}}$

って計算して、これらの辺々を足したり引いたりする事によって

${\begin{cases}x=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t+c_{1}}}+{\frac {1}{t+c_{2}}}\right)\\y=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t+c_{1}}}-{\frac {1}{t+c_{2}}}\right)\end{cases}}$

っちゅー感じで解きますよね。普通はこーゆー風に一般解求めるんだけど、以下で途中で解き方を連立方程式の加減法に変えてみたらどーなるのか調べてみたいと思います。

記述を簡潔にするために$\tau =t+c_{2}$と略記して上記の

$v=x-y=-1/\tau$

を使い、変数t(≒τ)に関する微分を「・」で表わす事にすれば

$x=y-{\frac {1}{\tau }},{\dot {x}}={\dot {y}}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}$

より

${\dot {x}}=x^{2}+y^{2}=\left(y-{\frac {1}{\tau }}\right)^{2}+y^{2}$

となりますが、これから

${\dot {y}}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}=y^{2}-{\frac {2y}{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}+y^{2}$

$\therefore {\dot {y}}=-{\frac {2y}{\tau }}+2y^{2}$

が得られます。これはベルヌーイの微分方程式なんで$\phi =y^{1-2}=y^{-1}$とおけば

${\dot {\phi }}=-y^{-2}\cdot {\dot {y}}={\frac {2}{\tau }}\phi -2$

となり

${\dot {\phi }}-{\frac {2}{\tau }}\phi =-2$

とゆー風に1階線形微分方程式に変換できます。そして

$-\int {\frac {2}{\tau }}d\tau =-2\log {\tau }=\log {\tau ^{-2}}$、

$e^{\log {\tau ^{-2}}}=\tau ^{-2}$

より

${\begin{aligned}\phi &=\tau ^{2}\left\{-\int 2\tau ^{-2}d\tau +C'\right\}\ \\&=\tau ^{2}\left({\frac {2}{\tau }}+C'\right)=C'\tau ^{2}+2\tau \end{aligned}}$

ってな感じでφが求まります。で、φ=1/yだったから

$y={\frac {1}{\phi }}={\frac {1}{C'\tau ^{2}+2\tau }}$

とゆー風に未知関数y=y(τ)が導かれます。そんでこれから

$x={\frac {1}{C'\tau ^{2}+2\tau }}-{\frac {1}{\tau }}$

と関数x=x(τ)も得られます。

…御覧の通り前述の解法で得た一般解とはだいぶ形が違いますよね。でもこの解、検算してみたらちゃんと上述の連立微分方程式満たすんですよ…(困惑)

上記の連立微分方程式って所謂解の一意性が成り立たないんでしょうかね…。(私にとっては)今後の重要な研究課題です…💦