角運動量演算子

角運動量演算子とは、量子力学において古典的な角運動量の類似物として機能するいくつかの演算子の一つである。角運動量演算子は、原子論、分子物理学、および回転対称性を含むほかの量子問題において中心的な役割を果たす。この演算子は、系の物理的状態を数学的に表現するために用いられ、状態の特定の値を持つ場合、角運動量の値を指定する。古典力学と量子力学の両方において、角運動量は、運動の3つの基本特性の一つである。

角運動量演算子には全角運動量$J$、軌道角運動量$L$、スピン角運動量$S$などいくつか種類がある。角運動量演算子という言葉は、全角運動量および軌道角運動量のどちらも指す場合がある。全角運動量はノーターの定理によって常に保存される。

種類

量子力学において、角運動量とは、関連する3つの量のうち1つを指す場合がある。

軌道角運動量

角運動量の古典的な定義は、$\mathbf{𝐋}=\mathbf{𝐫}\times \mathbf{𝐩}$であり、この定義は量子力学でも同じ関係性を持つ。

ここで、$\mathbf{𝐫}$は座標演算子、$\mathbf{𝐩}$は運動量演算子、$\times$は外積、$\mathbf{𝐋}$が軌道角運動量演算子である。$\mathbf{𝐋}$はベクトル演算子であり、すなわち、

$\mathbf{𝐋}=(L_x,L_y,L_z)$

電荷とスピンを持たない単一粒子の特殊な場合は、軌道角運動量演算子は座標基底で次のように記述が可能である。

$\mathbf{𝐋}=-i\hslash (\mathbf{𝐫}\times \mathrm{\nabla })$

スピン角運動量

スピン角運動量演算子は、スピン演算子によってあらわされる($\mathbf{𝐒}=(S_x,S_y,S_z)$)。スピンは粒子を軸に中心に回転する様子として描かれることが多いが、これは単なる比喩で、最も近い古典的な類似例は、電子波におけるエネルギーの循環に基づく。すべての素粒子は固有のスピンを持つ。例えば、電子なら1/2、格子なら1のスピンを持つ。

全角運動量

全角運動量演算子は、$\mathbf{𝐉}=(J_x,J_y,J_z)$と表される。これは粒子または系のスピン角運動量と軌道角運動量の和である。

$\mathbf{𝐉}=\mathbf{𝐋}+\mathbf{𝐒}$

角運動量保存則によると、閉じた系における$\mathbf{𝐉}$、あるいは宇宙全体における$\mathbf{𝐉}$は保存される。しかし、$\mathbf{𝐋}$と$\mathbf{𝐒}$の寄与は通常保存されない。例えば、スピン軌道相互作用によって$\mathbf{𝐋}$と$\mathbf{𝐒}$の間で角運動量が伝達され、 $\mathbf{𝐉}$の全体的な値は一定に保たれる。