永年平衡

永年平衡または放射性平衡とは崩壊系列における同位体原子核の数と崩壊定数(半減期)が単純な関係式で結びついている状態のことを指す。

$\frac{N_1}{N_2}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}$

放射性系列の全ての元素の崩壊速度が等しくなったときに、永年平衡が達成される。親同位体の寿命が長い場合(放射能が一定の場合)、娘放射性元素の放射能に変化は見られない。妥当な精度で、放射性平衡は最も寿命の長い娘元素の半減期の10倍の時間内に起こると仮定できる。

• ウラン系列 - 83万年後
• トリウム - 67年後
• アクチン-ウラン - 343000年後

自然状態では、放射性系列で遺伝的に関連する全ての核種は、通常その半減期に依存する特定の量比で存在する。放射性系列の構成要素の$T_{1/2}$が短いほど、地殻中のその含有量は少なくなる。

崩壊定数$\lambda$は単位時間あたりの原子核の崩壊確率である。物質中の時間$t$の時点で$N$子の放射性原子核が存在する場合、時間$dt$間に崩壊した原子核の数$dN$は$dN=-\lambda Ndt$となる。

原子核数2は最大値に達する。

$N_2^{\max }=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}{N}_{10}\exp (-{\lambda }_2{t}^{\max })$

$t^{max}=\frac{\ln ({\lambda }_1/{\lambda }_2)}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}$

${\lambda }_2<{\lambda }_1$の場合、総放射能$N_1(t){\lambda }_1+N_2(t){\lambda }_2$は単調に減少する。${\lambda }_2>{\lambda }_1$の場合、核種2の蓄積により総放射能は最初は増加する。

一般に、$1\to 2\to ...n$という崩壊連鎖が存在する場合、この過程は次の微分方程式によって記述される。

$\frac{d{N}_i}{dt}=-{\lambda }_i{N}_i+{\lambda }_{i-1}{N}_{i-1}$

初期条件$N_1(0)=N_{10};N_i(0)=0$におけるこの方程式の解は、

$A_n(t)=N_{10}\sum _{i=1}^n{c}_i\exp (-{\lambda }_{i}t)$

そして、

$c_m=\frac{\prod _{i=1}^n{\lambda }_i}{\prod _{i=1}^n({\lambda }_i-{\lambda }_m)}$

となる。