標準量子極限

標準量子極限(SQL)とは、異なる瞬間において自身と交換子によって記述される量の連続的または、反復的な測定精度に課される量子力学的極限である。これは1967年にソ連の物理学者のウラジーミル・ブラギンスキーによって提唱され、標準量子極限という用語は後にアメリカの物理学者のキップ・ソーンによって考案された。標準量子極限はハイゼンベルクの不確定性原理と密接に関係している。

標準量子極限の一例としては自由質量または機械振動子の座標測定における量子極限があげられる。座標演算子は、追加された座標変動が過去の時点における測定値に依存するため、異なる時点において自身と可換ではない。

自由質量の座標ではなく運動量を測定すると、その後の瞬間における運動量は変化しない。よって、自由質量の運動量は、任意の高精度で測定が可能である。このような測定は量子非摂動法と呼ばれる。標準的な量子極限を回避する別の方法は非古典的な圧縮状態場及び変分測定を光学測定に用いる必要がある。

量子極限はLIGOレーザー重力アンテナの分解能を制限する。2000年代までに、機械式マイクロ・ナノ振動子を用いた多くの物理実験によって、標準量子極限に相当する座標測定精度が達成された。2019年には、測定機器のフィードバック信号系からのノイズが測定対象系に与える相殺干渉現象を利用してそれらを部分的に補償することで、標準量子極限を実験的に克服した。

自由質量座標系

ある初期時点の測定において、ある精度$\mathrm{\Delta }{x}_0$で物体の座標を測定すると、測定過程において物体にランダムな運動量$\mathrm{\Delta }{p}_0$が伝達される。そして、座標の測定精度が高いほど、運動量の摂動は大きくなる。特に物体から反射した波の位相遷移を光学的に測定する場合、運動量の摂動は、物体に対する光の圧力の量子的な断続的な変動によって引き起こされる。座標をより正確に測定する必要があるほど、必要な光の力は大きくなり、入射波における光子数の量子変動も大きくなる。

不確定性関係によると、物体の運動量摂動は次のようになる。

$\mathrm{\Delta }{p}_0=\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }{x}_0}$

• $\hslash$=換算プランク定数

この運動量の変化とそれに伴う自由質量の速度の変化により、時間$\tau$ 後に座標を再測定すると、さらに以下の次の値だけ変化する。

$\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{\Delta }{p}_0\tau }{m}=\frac{\hslash \tau }{2\mathrm{\Delta }{x}_{0}m}$

結果として得られる二乗平均誤差は次の比率によって決定される。

$(\mathrm{\Delta }{X}_{\mathrm{\Sigma }}{)}^2=(\mathrm{\Delta }{x}_0{)}^2+(\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}{)}^2=(\mathrm{\Delta }{x}_0{)}^2+{\left(\frac{\hslash \tau }{2m\mathrm{\Delta }{x}_0}\right)}^2$

この式は次の場合に最小値を持つ。

$(\mathrm{\Delta }{x}_0{)}^2=\frac{\hslash \tau }{2m}$

この場合、座標の標準量子極限と呼ばれる二乗平均平方根測定精度が達成される。

$\mathrm{\Delta }{X}_{\mathrm{\Sigma }}=\mathrm{\Delta }{X}_{\mathrm{S}\mathrm{Q}\mathrm{L}}=\sqrt{\frac{\hslash \tau }{2m}}$

機械振動子の性能係数

機械振動子の座標の標準的な量子極限は次のように与えられる。

$\mathrm{\Delta }{X}_{\mathrm{S}\mathrm{Q}\mathrm{L}}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m{\omega }_m}}$

• ${\omega }_m$=機械的振動の周波数

振動子エネルギーの標準的な量子極限は以下のようになる。

$\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{S}\mathrm{Q}\mathrm{L}}=\sqrt{\hslash {\omega }_{m}E}$

• $E_{\mathrm{S}\mathrm{Q}\mathrm{L}}$=発振器の平均エネルギー