極慣性モーメント

極慣性モーメントとは、断面積全体にわたって基本表面$dA$の面積と極から距離の2乗$-{\rho }^2$の積の積分である。すなわち、次の式で与えられる。

$J_{p0}=\underset{A}{\int }{\rho }^{2}dA$

この量は、物体のねじれに対する抵抗力を予測するために使用される。長さの単位の4乗の次元を持ち、正の値しかとらない。

半径$r$の円の形状をした断面積の場合、極慣性モーメントは次の式で表される。

$J_{p0}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}{\rho }^2\rho d\rho d\varphi =\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi (D/2{)}^4}{2}=\frac{\pi D^4}{32}$

デカルト直交座標系の原点0を極座標系の極と組み合わせると、次のようになる。

$J_{p0}=J_x+J_y$

応用

極慣性モーメントは、せん断応力とそれを引き起こすトルクの関係を表す式で使用される。

$\tau =\frac{Tr}{J_{p0}}$

• $T$=トルク
• $r$=ねじれ軸からの距離
• $J_{p0}$=極慣性モーメント

関連項目

• 抵抗極モーメント
• 慣性モーメント