楕円体調和関数

楕円体調和関数またはラメ関数とは、二階常微分方程式であるラメ方程式の解のことである。この関数は、フランスの物理学者のガブリエル・ラメの論文で初めて記述された。ラメ方程式は、楕円座標系におけるラプラス方程式を適用し、変数分離を行う際に用いられる。

この方程式は以下のように定義される。

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=(A+B\mathrm{\wp }(x))y$

ここで、$A$および$B$は定数であり、$\mathrm{\wp }$はヴァイエルシュトラスの楕円函数である。$B$が$n(n+1)$の形である場合、解は全複素平面における有利関数へと拡張される。$B$がそれ以外の値をとる場合、解に分岐点が存在する。

独立変数を変えることで、ラメ方程式は代数形式で書き直すこともできる。

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{t-e_1}+\frac{1}{t-e_2}+\frac{1}{t-e_3})=\frac{A+Bt}{4(t-e_1)(t-e_2)(t-e_3)}y$