垂直軸の定理

垂直軸の定理とは、十分に薄く厚さを無視できる板について、面に垂直な回転軸周りの慣性モーメント $I_{z}$ は同じ点で面を通りかつ面に平行な回転軸周りの2つの慣性モーメント $I_{x},I_{y}$ の和に等しい。 $I_{z}=I_{x}+I_{y}$ であるという定理。

導出[編集]

密度を $\rho$ 、軸からの微小体積の位置ベクトルをz軸を無視して ${\boldsymbol {r}}=(x,y)$ とする。

{\begin{aligned}I_{z}&=\int _{S}\rho {\boldsymbol {r}}^{2}dS\\&=\int _{x}\int _{y}\rho (x^{2}+y^{2})dydx\\&=\int _{x}\int _{y}\rho y^{2}dydx+\int _{x}\int _{y}\rho x^{2}dydx\\&=I_{x}+I_{y}\end{aligned}}

位置ベクトルをxy成分に分けて、積分をx,yに分けて計算すると第1項は $I_{x}$ 第2項は $I_{y}$ にある。

特に、円板,円環,正方形などの対称性から $I_{x}=I_{y}$ となるような物体では

I_{z}=2I_{x}=2I_{y}

となって、 $I_{z}$ から $I_{x},I_{y}$ を求められる。

半径 $a$ で密度一定の質量 $M$ の厚さを無視できる円板を考える。すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は $\rho ={\frac {M}{\pi a^{2}}}$ になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント $I_{Gz}$ は、

I_{G,z}=\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{2}drrd\theta =\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{3}d\theta dr={\frac {1}{2}}Ma^{2}

重心を通り面に平行な軸周りの慣性モーメント $I_{G,x}=I_{G,y}$ は、垂直軸の定理より

I_{G,x}=I_{G,y}={\frac {1}{2}}I_{G,z}={\frac {1}{4}}Ma^{2}