反発係数

反発係数またははね返り係数とは2つの物体同士が衝突した時に、どれだけ運動エネルギーが弾性的に保存されるかを表す量である。反発係数は普通$e$で表される。

値

反発係数は0≦e≦1の範囲で定義される。

e=1

この時は、完全弾性衝突といって理想的な弾む衝突である。

0<e<1

この時は、不完全弾性衝突といってほとんどの物体の衝突における反発係数はこの中の値となる。

e=0

この時は、完全非弾性衝突といって、物体同士がくっついてしまう。

求め方

反発係数は以下のようにして求めることができる。

$e=-{\frac {v_{1}'-v_{2}'}{v_{1}-v_{2}}}$

• $v_{1},v_{2}$=衝突前の2物体の速度
• $v_{1}',v_{2}'$=衝突後の2物体の速度

具体的な使用例

反発係数はボールを高さ$h$から落とした時にどれだけバウンドするのかという計算に、よく用いられる。

$h'=e^{2}h$

• $h'$=バウンド後の高さ

エネルギー

衝突前の2物体の速度と衝突後の2物体の速度から反発係数を求められる。 これに対して、運動量保存則と反発係数を用いて、衝突前の2物体の速度から衝突後の2物体の速度を求めることができる。 特に、完全弾性衝突($e=1$)では、エネルギー保存則が成り立つような結果を得る。 そうでない場合($0\leq e<1$)では、運動エネルギーの総和は減少する。

エネルギー保存則成立時

エネルギー保存則成立時には、反発係数が1であることを簡単に示すことができる。

• $v_{1},v_{2}$=衝突前の2物体の速度
• $v_{1}',v_{2}'$=衝突後の2物体の速度
• $m_{1},m_{2}$=物体の質量

として

• $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$(運動量保存則)
• ${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}$(エネルギー保存則)

それぞれ変形して

• $m_{1}(v_{1}-v_{1}')=m_{2}(v_{2}'-v_{2})$
• $m_{1}(v_{1}^{2}-v_{1}'^{2})=m_{2}(v_{2}'^{2}-v_{2}^{2})$

下の式の両辺を上の式の両辺で割って

$v_{1}+v_{1}'=v_{2}'+v_{2}$

なので

$v_{1}-v_{2}=-v_{1}'+v_{2}'$

すなわち

$e=-{\frac {v_{1}'-v_{2}'}{v_{1}-v_{2}}}=1$

一般の場合

一般にはエネルギーの損失があることを反発係数から示すことができる。

• $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$(運動量保存則)
• $e=-{\frac {v_{1}'-v_{2}'}{v_{1}-v_{2}}}$(反発係数)

それぞれ変形して

• $m_{1}(v_{1}-v_{1}')=m_{2}(v_{2}'-v_{2})$
• $ev_{1}+v_{1}'=ev_{2}+v_{2}'$

$v_{1}',v_{2}'$について解いて

• $v_{1}'={\frac {(m_{1}-em_{2})v_{1}+(1+e)m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$
• $v_{2}'={\frac {(1+e)m_{1}v_{1}+(m_{2}-em_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

これより

$\left({\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\right)-\left({\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}\right)={\frac {1-e^{2}}{2}}{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(v_{1}-v_{2})^{2}$(※ここの計算はかなり面倒)

右辺は、$e=1$のときに0で、$0\leq e<1$のときに正の値をもつ。
すなわち、完全弾性衝突($e=1$)ではエネルギー保存則が成り立ち、 そうでない場合($0\leq e<1$)では運動エネルギーの総和は減少する。
エネルギーの減少量は、${\frac {1-e^{2}}{2}}{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(v_{1}-v_{2})^{2}$である。 特に、完全非弾性衝突($e=0$)ではエネルギー損失が最大になる。

関連項目

• 弾性
• 弾性力
• ばね定数