双対空間

双対空間またはk空間とは実数空間のフーリエ変換された、あるいは双対となるベクトル空間である。実数ベクトル空間における格子、幾何学的対象、もしくは関数はフーリエ変換によって相対空間へと変換することができる。

双対格子空間、双対空間、双対ベクトルは、物理学、特に量子力学、分光法、素粒子物理学、固体物理学において、散乱過程における波動現象の挙動を記述するために用いられる概念である。

kベクトルは波ベクトルを表し、空間内を自由に運動する素粒子の波動関数$\mathrm{\Psi }$において次のように表される。

${\mathrm{\Psi }}_{\overrightarrow{k},\omega }(\overrightarrow{r},t)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Omega }}}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}\pm i\omega t}$

• $\overrightarrow{k}$=波ベクトル
• $\overrightarrow{r}$=位置ベクトル
• $\omega$は周波数領域における角周波数
• $t$=時間
• $\mathrm{\Omega }$=波が存在する空間体積

この波動関数は空間と時間において、無限に広がっているが、双対空間および周波数領域において点$(\overrightarrow{k},\omega )$を特定する。

ちなみに、双対格子とは結晶格子をフーリエ変換して双対空間に変換した結果から得られる構造である。