加法定理 (三角関数)

三角関数の加法定理（かほうていり）とは、三角関数どうしの加法（足し算）と減法（引き算）に関する定理である。

公式

符号は全て複号同順。±と∓は上なら上、下なら下で等号が成り立つ。

$\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$

$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

$\tan (x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$

cot, sec, csc に関する式は以下の通り。あまりきれいな形にはならず、エンペディア読者にこれらを使う人はあまりいないと思われるが、鉄道分岐器に使うので参考までに記載しておく。

$\cot (x\pm y)=\frac{\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}$

$\sec (x\pm y)=\frac{\sec x\sec y\csc x\csc y}{\csc x\csc y\mp \sec x\sec y}$

$\csc (x\pm y)=\frac{\sec x\sec y\csc x\csc y}{\sec x\csc y\pm \csc x\sec y}$

倍角公式

加法定理から、以下の公式が簡単に導出できる。

2倍角の公式

y = x と代入し整理するだけで以下の公式が導かれる。

$\sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\cos 2x={\cos }^{}x-{\sin }^{}x=2{\cos }^{}x-1=1-2{\sin }^{}x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

3倍角の公式

y = 2x とし、さらに2倍角の公式も用いて整理することにより以下の公式が導かれる。

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{}x$

$\cos 3x=4{\cos }^{}x-3\cos x$

$\tan 3x=\frac{3\tan x-{\tan }^{}x}{1-3{\tan }^{2}x}$

同様に 4倍角の公式、5倍角の公式、…… なども導けるが、導出が簡単なうえに使用する場面はほとんどないため、覚える必要はほとんどない。

計算問題で sin7x や cos7x を含む数式を見ても「7倍角の公式なんて知らない！無理！(>_<)」などと慌てる必要はない。倍角公式を使わない別の方法がきっとあるはずである。

半角公式

2倍角の公式より、 cos 2x を sin² x , cos² x , tan² x のみで表すことができることから、 2x を x と置きなおして整理することにより以下の公式が得られる。

$\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

$\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

$\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$

和積公式

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

これをうまく変形すると得られる。

$\sin (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x\cos y$

$\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x\sin y$

$\cos (x+y)+\cos (x-y)=2\cos x\cos y$

$\cos (x-y)-\cos (x+y)=2\sin x\sin y$

覚え方

sinとcosに関する2つの式については、以下の覚え方が有名である。

• 咲いたコスモス コスモス咲いた
• コスモスコスモス 咲かない咲かない

sinを「咲く」、cosを「コスモス」、符号が逆になる部分を「ない」で表現している。

これ以外にも覚え方はたくさんある。sinとcosを別の文字列に置き換えるものが多く、小林（cos）幸子（sin）や埼玉県（sin）越谷市（cos）が登場したり、死んだり（sin）殺したり（cos）、性的表現をふんだんに使用したりとバリエーションは尽きない模様。あと、「しんこすこすしん、こすこすしんしん」という力技の覚え方もある。

3倍角のsinについては、「3番三振、4番3三振」と覚えることも可能である。

証明

ここでは高校の教科書に載っている一般的な方法で証明を行う。まず余弦定理を用いて $\cos (\alpha -\beta )$ に関する式を証明し、三角関数の相互関係より他の式も導く。

単位円上に2点 $\mathrm{A}\mathrm{(}\cos \mathrm{\alpha },\sin \mathrm{\alpha }\mathrm{)},\mathrm{B}\mathrm{(}\cos \mathrm{\beta },\sin \mathrm{\beta }\mathrm{)}$ をとる。2点間の距離の公式より、

$\begin{array}{rl}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}& =(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2\\ & =2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \end{array}$

三角形OABに余弦定理を用いると、

$\begin{array}{rl}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}& =\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{\cdot }\mathrm{O}\mathrm{B}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\\ & =1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\\ & =2-2\cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\end{array}$

以上の2式を等号で結び、さらに整理すると以下の式が得られる。

$\begin{array}{rl}2-2\cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}& =2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \\ \cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}& =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}$

ここで、 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{\alpha }\mathrm{-}\mathrm{\beta }$ または $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{\beta }\mathrm{-}\mathrm{\alpha }$ であるが、 $\cos (\alpha -\beta )=\cos (\beta -\alpha )$ であるため、どちらの場合でも $\cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{=}\cos \mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{-}\mathrm{\beta }\mathrm{)}$ が成り立つ。よって、

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cdots (1)$

---

(1)式と三角関数の関係式より、その他の加法定理の公式も導ける。（複号は同順とする）

$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )& =\cos \{\alpha -(-\beta )\}\\ & =\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )\\ & =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha (-\sin \beta )\\ & =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \cdots (2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\sin (\alpha \pm \beta )& =\cos \{90^{\circ }-(\alpha \pm \beta )\}\\ & =\cos \{(90^{\circ }-\alpha )\mp \beta \}\\ & =\cos (90^{\circ }-\alpha )\cos \beta \mp \sin (90^{\circ }-\alpha )\sin \beta \\ & =\sin \alpha \cos \beta \mp (-\cos \alpha )\sin \beta \\ & =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \cdots (3),(4)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\tan (\alpha \pm \beta )& =\sin (\alpha \pm \beta )/\cos (\alpha \pm \beta )\\ & =(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )/(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }/\frac{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\\ & =(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\pm \frac{\sin \beta }{\cos \beta })/(1\mp \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta })\\ & =(\tan \alpha \pm \tan \beta )/(1\mp \tan \alpha \tan \beta )\cdots (5),(6)\end{array}$

複素数と絡めた解釈

高校数学の範囲外だが、オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ を使うと、加法定理は指数法則に従い、容易に導き出せる。

$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )& =e^{i(\alpha +\beta )}\\ & =e^{i\alpha }{e}^{i\beta }\\ & =(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )\\ & =(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\ \end{array}$

より、実部と虚部を取れば導くことができる。

関連項目

• 咲いたコスモス コスモス咲いた - 覚え方の語呂合わせをタイトルに使った漫画作品
• tan1°は有理数か。 - 2006年京都大学の有名な入試問題。有理数でないことは加法定理を用いて証明することができる。
• 交流
• 電気回路