加法定理 (三角関数)

三角関数の加法定理（かほうていり）とは、三角関数どうしの加法（足し算）と減法（引き算）に関する定理である。

公式

符号は全て複号同順。±と∓は上なら上、下なら下で等号が成り立つ。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}}

cot, sec, csc に関する式は以下の通り。あまりきれいな形にはならず、エンペディア読者にこれらを使う人はあまりいないと思われるが、鉄道分岐器に使うので参考までに記載しておく。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cot (x \pm y) = \frac{\cot x \cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sec (x \pm y) = \frac{\sec x \sec y \csc x \csc y}{\csc x \csc y \mp \sec x \sec y}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \csc (x \pm y) = \frac{\sec x \sec y \csc x \csc y}{\sec x \csc y \pm \csc x \sec y}}

倍角公式

加法定理から、以下の公式が簡単に導出できる。

2倍角の公式

y = x と代入し整理するだけで以下の公式が導かれる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}}

3倍角の公式

y = 2x とし、さらに2倍角の公式も用いて整理することにより以下の公式が導かれる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}}

同様に 4倍角の公式、5倍角の公式、…… なども導けるが、導出が簡単なうえに使用する場面はほとんどないため、覚える必要はほとんどない。

計算問題で sin7x や cos7x を含む数式を見ても「7倍角の公式なんて知らない！無理！(>_<)」などと慌てる必要はない。倍角公式を使わない別の方法がきっとあるはずである。

半角公式

2倍角の公式より、 cos 2x を sin² x , cos² x , tan² x のみで表すことができることから、 2x を x と置きなおして整理することにより以下の公式が得られる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}}

和積公式

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y}

これをうまく変形すると得られる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x + y) + \sin (x - y) = 2\sin x \cos y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x + y) - \sin (x - y) = 2\cos x \sin y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x + y) + \cos (x - y) = 2\cos x \cos y}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x - y) - \cos (x + y) = 2\sin x \sin y}

覚え方

sinとcosに関する2つの式については、以下の覚え方が有名である。

• 咲いたコスモス コスモス咲いた
• コスモスコスモス 咲かない咲かない

sinを「咲く」、cosを「コスモス」、符号が逆になる部分を「ない」で表現している。

これ以外にも覚え方はたくさんある。sinとcosを別の文字列に置き換えるものが多く、小林（cos）幸子（sin）や埼玉県（sin）越谷市（cos）が登場したり、死んだり（sin）殺したり（cos）、性的表現をふんだんに使用したりとバリエーションは尽きない模様。あと、「しんこすこすしん、こすこすしんしん」という力技の覚え方もある。

3倍角のsinについては、「3番三振、4番3三振」と覚えることも可能である。

証明

ここでは高校の教科書に載っている一般的な方法で証明を行う。まず余弦定理を用いて 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta)} に関する式を証明し、三角関数の相互関係より他の式も導く。

単位円上に2点 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rm A(\cos\alpha, \sin\alpha), \rm B(\cos\beta, \sin\beta)} をとる。2点間の距離の公式より、

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \rm AB^2 &= (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 \\ &= 2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta \end{align}}

三角形OABに余弦定理を用いると、

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \rm AB^2 &= \rm OA^2 + OB^2 - 2 OA \cdot OB \cos\angle\rm AOB \\ &= 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\angle\rm AOB \\ &= 2 - 2\cos\angle\rm AOB \end{align}}

以上の2式を等号で結び、さらに整理すると以下の式が得られる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} 2 - 2\cos\angle\rm AOB &= 2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta \\ \cos\angle\rm AOB &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \end{align}}

ここで、 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle\rm AOB = \alpha - \beta} または 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle\rm AOB = \beta - \alpha} であるが、 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta) = \cos(\beta - \alpha)} であるため、どちらの場合でも 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos\angle\rm AOB = \cos(\alpha - \beta)} が成り立つ。よって、

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (1)}

---

(1)式と三角関数の関係式より、その他の加法定理の公式も導ける。（複号は同順とする）

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\{\alpha - (-\beta)\} \\ &= \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) \\ &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha(-\sin\beta) \\ &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (2) \end{align}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \sin(\alpha \pm \beta) &= \cos\{90^\circ - (\alpha \pm \beta)\} \\ &= \cos\{(90^\circ - \alpha) \mp \beta\} \\ &= \cos(90^\circ - \alpha)\cos\beta \mp \sin(90^\circ - \alpha)\sin\beta \\ &= \sin\alpha\cos\beta \mp (-\cos\alpha)\sin\beta \\ &= \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (3), (4) \end{align}}

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \tan(\alpha \pm \beta) &= \sin(\alpha \pm \beta) / \cos(\alpha \pm \beta) \\ &= (\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta) / (\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta) \\ &= \frac{\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} \bigg/ \frac{\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} \\ &= \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \pm \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) \bigg/ \left(1 \mp \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}\right) \\ &= (\tan\alpha \pm \tan\beta) / (1 \mp \tan\alpha\tan\beta) ~~~~\cdots (5), (6) \end{align}}

複素数と絡めた解釈

高校数学の範囲外だが、オイラーの公式 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta} を使うと、加法定理は指数法則に従い、容易に導き出せる。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &=e^{i(\alpha+\beta)} \\ &=e^{i\alpha}e^{i\beta} \\ &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) \\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \\ \end{align}}

より、実部と虚部を取れば導くことができる。

関連項目

• 咲いたコスモス コスモス咲いた - 覚え方の語呂合わせをタイトルに使った漫画作品
• tan1°は有理数か。 - 2006年京都大学の有名な入試問題。有理数でないことは加法定理を用いて証明することができる。
• 交流
• 電気回路