マーデルング方程式

マーデルング方程式とはドイツの物理学者のエルヴィン・マーデルングによって定式化されたシュレディンガー方程式の代替の方程式である。

そこで、複雑な関数$\psi$をその絶対値$\rho$および位相$S$で成り立つ$\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S}$で置き換えると、マーデルング方程式が得られる。

1. $\partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0$
2. $\partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}$

ここで、$V$はシュレディンガー方程式からのポテンシャルである。

この2つの方程式のうち、最初の方程式は連続性方程式の形をしており、2つ目のものはハミルトン-ヤコビ方程式である(カノニカル方程式を参照)。

解釈

$S$は作用として解釈され、$\nabla S$は運動量として解釈される。マーデルング方程式は、オイラー方程式 (流体力学)として次のように解釈することができる。

1. $\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0$
2. ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\nabla (Q+V)$

• ${\vec {v}}({\vec {x}},t)=\nabla S/m$は流束、または$\nabla S=m\cdot {\vec {v}}$運動量。
• $\rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}$(質量密度)標準化条件$\int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1$または$\int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m$を任意の時刻$t$に適用。
• $Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\hbar ^{2}}{2m}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$=ボーム量子ポテンシャル