マーデルング方程式

マーデルング方程式とはドイツの物理学者のエルヴィン・マーデルングによって定式化されたシュレディンガー方程式の代替の方程式である。

そこで、複雑な関数$\psi$をその絶対値$\rho$および位相$S$で成り立つ$\psi =\sqrt{\rho }{e}^{\frac{i}{\hslash }S}$で置き換えると、マーデルング方程式が得られる。

1. ${\partial }_t\rho +\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(\rho \mathrm{\nabla }S)=0$
2. ${\partial }_{t}S+\frac{1}{2m}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{\mathrm{\Delta }\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}$

ここで、$V$はシュレディンガー方程式からのポテンシャルである。

この2つの方程式のうち、最初の方程式は連続性方程式の形をしており、2つ目のものはハミルトン-ヤコビ方程式である(カノニカル方程式を参照)。

解釈

$S$は作用として解釈され、$\mathrm{\nabla }S$は運動量として解釈される。マーデルング方程式は、オイラー方程式 (流体力学)として次のように解釈することができる。

1. ${\partial }_t{\rho }_m+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }_m\overrightarrow{v})=0$
2. $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}={\partial }_t\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}=-\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(Q+V)$

• $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x},t)=\mathrm{\nabla }S/m$は流束、または$\mathrm{\nabla }S=m\cdot \overrightarrow{v}$運動量。
• ${\rho }_m=m\rho =m|\psi {|}^2$(質量密度)標準化条件$\int \rho (\overrightarrow{x},t)d^{3}x=1$または$\int {\rho }_m(\overrightarrow{x},t)d^{3}x=m$を任意の時刻$t$に適用。
• $Q=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=-{\hslash }^{2}2m\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{{\rho }_m}}{\sqrt{{\rho }_m}}$=ボーム量子ポテンシャル