フーリエ級数展開

フーリエ級数展開とは、正弦関数・余弦関数(と定数)の無限和として関数を得る展開のことである。 得られる無限和(級数)をフーリエ級数、各項の係数をフーリエ係数という。

概要

周期関数$f(t)$の(複素)フーリエ級数展開は、フーリエ係数$c_{n}$と周期$T$、虚数単位$j$、円周率$\pi$を用いて以下の式になる。

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{j{\frac {2\pi nt}{T}}}$

ただし、

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-j{\frac {2\pi nt}{T}}}dt$

である。

実数値関数に限れば、フーリエ余弦係数$a_{n}$とフーリエ正弦係数$b_{n}$を用いて以下の式になる。

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)\right)$

ただし、

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)dt$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)dt$

である。
偶関数のフーリエ級数展開はフーリエ余弦係数のみで構成され、奇関数のフーリエ級数展開はフーリエ正弦係数のみで構成される。$a_{0}$は$\cos(0)$すなわち一定の成分であり、平均値(の2倍)に相当する。

フーリエ級数展開の例

三角関数や複素指数関数のフーリエ級数展開は自分自身である(のでするまでもない)。

関数名	$f(t)$	周期	$a_{0}$	$a_{n}$	$b_{n}$	級数
余弦関数	$\cos(kt)$	${\frac {2\pi }{k}}$	$a_{0}=0$	$a_{1}=1,a_{n}=0(n\neq 1)$	$b_{n}=0$	$\cos(kt)$
正弦関数	$\sin(kt)$	${\frac {2\pi }{k}}$	$a_{0}=0$	$a_{n}=0$	$b_{1}=1,b_{n}=0(n\neq 1)$	$\sin(kt)$
定数関数	$C$	$-$	$a_{0}=2C$	$a_{n}=0$	$b_{n}=0$	$C$
矩形波	$f(t+kT)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}0\leq t\leq {\frac {T}{2}}\\-1&{\mbox{if }}-{\frac {T}{2}}\leq t\leq 0\end{cases}}(k\in \mathbb {Z} )$	$T$	$a_{0}=0$	$a_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n\operatorname {even} \\{\frac {4}{\pi }}{\frac {1}{n}}&{\mbox{if }}n\operatorname {odd} \end{cases}}$	$b_{n}=0$	${\frac {4}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi (2m-1)t}{T}}\right)}{2m-1}}$
三角波	$f(t+kT)={\begin{cases}-{\frac {4t}{T}}+1&{\mbox{if }}0\leq t\leq {\frac {T}{2}}\\{\frac {4t}{T}}+1&{\mbox{if }}-{\frac {T}{2}}\leq t\leq 0\end{cases}}(k\in \mathbb {Z} )$	$T$	$a_{0}=0$	$a_{n}=0$	$b_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n\operatorname {even} \\{\frac {8}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}&{\mbox{if }}n\operatorname {odd} \end{cases}}$	${\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\cos \left({\frac {2\pi (2m-1)t}{T}}\right)}{(2m-1)^{2}}}$
ノコギリ波	$f(t+kT)={\begin{cases}{\frac {2t}{T}}&{\mbox{if }}-{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}\end{cases}}(k\in \mathbb {Z} )$	$T$	$a_{0}=0$	$a_{n}=-{\frac {2}{\pi }}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$	$b_{n}=0$	$-{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)}{n}}$

関連項目

• フーリエ変換