フレネル積分

フレネル積分とは数学、特に解析学の分野で、オーギュスタン・ジャン・フレネルにちなんで名づけられた広義積分である。

形式

次の2つの積分、

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (t^2)\mathrm{d}t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (t^2)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\sqrt{2\pi }$

はフレネル積分と呼ばれる。これらはコーシーの積分定理を用いてガウスの誤差積分から導出される。

歴史

フレネルは、1819年頃にこれらの積分を研究した。レオンハルト・オイラーはすでに1781年に、より一般的な積分について考察していた。

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{(a^2-1)t^2}\cos (2a{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{1+a^2},-1\le a\le 1$

そして、

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{(a^2-1)t^2}\sin (2a{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{a\sqrt{\pi }}{1+a^2},-1\le a\le 1$

量子力学

フレネル積分は、量子力学において重要な役割を果たす。経路積分から量子力学を導出する過程は、次の形式の積分に基づく。

${ℱ}\equiv {𝒩}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}{\xi }^j\mathrm{d}\xi$

正規化定数${𝒩}$の実用的な表し方は以下の通りである。

${𝒩}\equiv \sqrt{\frac{\alpha }{i\pi }}$

$j$自然数である。$j=0$のとき、積分は、

${ℱ}\equiv {{ℱ}}^{(0)}\equiv {𝒩}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}\mathrm{d}\xi$

そして、これをフレネル積分と呼び。この形式の積分は、ファインマンの経路積分から導出されるシュレーディンガー方程式に現れる。

フレネル積分からは複素数が得られ、その実部と虚部は次のように定まる。

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\alpha {\xi }^2)\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\pi }{2|\alpha |}}$、そして

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{infty}{\int }}\sin (\alpha {\xi }^2)\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\pi }{2|\alpha |}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\alpha )$

両方の積分は収束する。余弦積分は、余弦の対称性により、$\alpha$の符号が反転しても不変であるが、反対称性な正弦は符号が反転する。$\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi }{4}}$及び$-1=e^{i\pi }$とし、符号関数について場合分けを行うと、フレネル積分の解は次のようになる。

${ℱ}\equiv {ℱ}\equiv {𝒩}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\alpha }{i\pi }}\cdot \sqrt{\frac{i\pi }{\alpha }}=1$

これは正規化定数も説明されており、全体の式が1になるためには、この定数は積分解の逆数と正確に一致しなければならない。量子力学では、これは実用的な理由と、波動関数が粒子の発見確立に対応するという考えに基づいて選択される。したがって、記述された粒子は採取的にどこかに存在するため、この関数の積分は1に等しくなければならない。