パウリ方程式

パウリ方程式とは電磁場中のスピン1/2の粒子に対するシュレーディンガー方程式に対応する量子力学の非相対論的方程式である。

歴史

1927年に、ヴォルフガング・パウリはこの方程式を電子の方程式として提唱し、1928年にはポール・ディラックが自身の方程式の非相対論的近似として実証した。1969年にジャン-マルク・レヴィー-レブロンはシュレーディンガー方程式を線形化することでこれを再実証した。

式

以下の値を定義すると、

• $\mathrm{\Psi }(t,\overrightarrow{r})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{\Psi }}_{+}}{{\mathrm{\Psi }}_{-}})$ =粒子の状態関数。ここで、${\mathrm{\Psi }}_{\pm }$はスピン$\pm 1/2$が観測される。
• $q$=粒子の電荷
• $m$=粒子の質量
• $\mathbb{𝔸}=(U(\overrightarrow{r},t),\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t))$=周囲の電磁場の四元ポテンシャル
• $\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$=磁場
• $\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$=パウリ行列のベクトル。

パウリ方程式は以下の通りとなる。

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}=(\frac{1}{2m}{(\overrightarrow{P}+q\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t))}^2+qU(\overrightarrow{r},t)-\frac{q\hslash }{2m}\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t))\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$

また、この式からハミルトニアンを導出することができる。

$H=\frac{1}{2m}(\overrightarrow{\sigma }.[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)]{)}^2+qU(/vecr,t)$