チェビシェフの微分方程式

数学の解析学分野に於けるチェビシェフの微分方程式とは

• $(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0$

で表される2階線形微分方程式である。

概要

冪級数解$y=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}x^{m}$を考えてこれを項別微分し上記微分方程式に代入して$x^{m}$の項を零とおけば

$(m+2)(m+1)c_{m+2}-m(m-1)c_{m}-mc_{m}+n^{2}c_{m}=0$

となる。これを$c_{m+2}$に関して解けば漸化式

• $c_{m+2}={\frac {(m+n)(m-n)}{(m+2)(m+1)}}c_{m}$

が得られる。ゆえに上記級数解はnが非負整数のときm>n以降は係数が零になりn次多項式解になる。

チェビシェフの多項式

次のよーな逆余弦と余弦の合成関数

• $y=\cos {n(\arccos x)}$

をチェビシェフの多項式といい$T_{n}(x)$で表わす。以下ではこの関数がチェビシェフの微分方程式を満たす事を示す。

証明 記述を簡単にするために

$\tau =\arccos x,\rho =1-x^{2}$

と置くと$y=\cos {n\tau }$より

${\begin{aligned}y'&=-\sin {n\tau }\cdot n\cdot -\rho ^{-1/2}\\&=n\rho ^{-1/2}\sin {n\tau }\end{aligned}}$

を得る。更に微分すれば

${\begin{aligned}y''&=n\{(-1/2)\rho ^{-3/2}(-2x)\sin {n\tau }+\rho ^{-1/2}\cos {n\tau }\cdot n\cdot -\rho ^{-1/2}\}\\&=n\{x\rho ^{-1}\rho ^{-1/2}\sin {n\tau }-\rho ^{-1}n\cos {n\tau }\}\\&=x\rho ^{-1}n\rho ^{-1/2}\sin {n\tau }-n^{2}\rho ^{-1}\cos {n\tau }\\&=\rho ^{-1}(xy'-n^{2}y)\end{aligned}}$

が得られる。この両辺にρ掛けて移項すれば上記関数がチェビシェフの微分方程式を満たしてる事が分かる。 (証明終)

関連項目

• チェビシェフフィルタ