タイト=バインディング法

タイト=バインディング法とは、固体物理学において、導体や半導体の電子構造とバンドギャップを決定するための典型的に用いられる計算方法である。この古典的な手法は静的な場合に適用可能であるが、適正な補正係数を導入することで動的な場合にも適用させることができる。

導入

タイト=バインディング法の重要な仮定は、系の全ハミルトニアン$H$をブラヴェ格子内の固定点を占める原子の場合と同様に、制限されたヒルベルト空間内の単一原子軌道のハミルトニアンに近似することで基づく。基本的な仮定は、単一原子ハミルトニアン$H$の固有関数である原子軌道$\mathrm{\Psi }n$が格子間隔に比べて非常に小さく、隣接状態との相互作用が限られているというものである。これが、タイト=バインディング法の由来である。系の全ハミルトニアンを得るために必要な原子ポテンシャル$\mathrm{\Delta }U$の補正は、重要ではないと仮定される。

式

シュレーディンガー方程式の解は直交すると仮定した既定関数の原子軌道の線形結合に基づいて得られる。

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})=\sum _{n,\lambda }{c}_{n,\lambda }{\varphi }_{\lambda }(\overrightarrow{r})$

これは、均等化につながる。

$H|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩={\epsilon }_{\alpha }|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩$

基本式を展開することで、行列方程式が得られる。

${\mathbb{ℍ}\mathbb{ℂ}}^{\alpha }={\epsilon }_{\alpha }{\mathbb{ℂ}}^{\alpha }$

ブロッホ関数を適用すると、固有値方程式が得られる。

$\mathbb{ℍ}(\overrightarrow{K}){\mathbb{ℂ}}^{\alpha }(\overrightarrow{K})={\epsilon }_{\alpha }(\overrightarrow{K}){\mathbb{ℂ}}^{\alpha }(\overrightarrow{K})$

• $\mathbb{ℍ}(\overrightarrow{K})=\sum _n{e}^{i\mathbf{𝐤}\cdot \mathbf{𝐧}}H(\mathbf{𝐧})$
• ${\mathbb{ℂ}}^{\alpha }(\overrightarrow{K})$=係数の行列
• ${\epsilon }_{\alpha }(\overrightarrow{K})$=ブロッホエネルギーであり、次のように定義される。

$\epsilon \overrightarrow{K}=E_m-\frac{{\beta }_m+\sum _{\overrightarrow{R}\ne 0}\gamma (\overrightarrow{R})e^{i\overrightarrow{K}\cdot \overrightarrow{R}}}{c_m+\sum _{\overrightarrow{R}\ne 0}{\alpha }_m(\overrightarrow{R})e^{i\overrightarrow{K}\cdot \overrightarrow{R}}}$

• $E_m$=$m$番目の原子レベルのエネルギー

重ね合わせ積分は次の値を取る。

${\beta }_m=-\int {\psi }_m^{*}(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }U(\overrightarrow{r})\varphi (\overrightarrow{r})d\overrightarrow{(}r)$

${\alpha }_m(\overrightarrow{R})=\int {\psi }_m^{*}(\overrightarrow{r})\psi (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{R})d\overrightarrow{r}$

${\gamma }_m(\overrightarrow{R})=-\int {\psi }_m^{*}(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }U(\overrightarrow{r})\psi (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{R})d\overrightarrow{r}$

タイト=バインディング法は非常に汎用性が高く、研究対象の系の複雑さを実行する必要のあるシミュレーションの種類に応じて、非経験的分子軌道法、分子動力学にも広く適用される半経験的法、経験的法を活用出来る。