エルミート関数

エルミート関数$h_n(x)$とは、エルミート多項式$H_n(x)$にガウス正規分布の密度関数を掛けること得られる関数である。

$h_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{2n^{2}n!\sqrt{\pi }}}{e}^{\frac{x^2}{2}}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{e}^{-x^2}=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}{H}_n(x)e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{h}_n(x)h_m(x)\mathrm{d}x={\delta }_{n,m}n,m=0,1,2,...$

これは、正弦や余弦と同様に、正規直行基底の定義の非常にいい例である。後者はスペクトル解析(フーリエ解析)を用いて周期信号を周波数スペクトルに分解が可能だが、エルミート関数は特異な事象を記述することができる。

これらは量子調和振動子の正規直行解関数の構築いのいて物理学上重要な意味を持つ。量子力学の生成演算子と消滅演算子に着想を得て、エルミート関数の以下の再帰的表現が得られる。

$h_n(x)=n^{-\frac{1}{2}}{a}^{†}{h}_{n-1}(x),h_0(x)={\pi }^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

ここで演算子$a^{†}$は次のように定義される。

$a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})$

特異な事象は通常は強度、平均、標準偏差によって特徴づけられる。しかし、これらのパラメータは異なる自称で同一になる場合があり、、特徴付けには不十分である。そのため、いわゆる「高次統計モーメント」が追加の比較尺度として決められる。ただし、これらはノイズやゼロラインのドリフトに対して非常に影響が大きいため、その有用性には限界がある。分布をエルミート関数で展開すると、係数は非常に安定する。これは、関数が中心領域にのみ存在し、それにより外側の測定値を適切に減衰させるためである。

エルミート関数を用いて、自称を表す関数を展開することは、ウェーブレット変換と類似している。

フーリエ変換

エルミート関数は1次元フーリエ変換の固有値$(-\mathrm{i}{)}^n$に対応する固有関数である。

${ℱ}{h}_n=(-\mathrm{i}{)}^n{h}_n(n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0)$

さらにそれは$L^2(\mathbb{ℝ})$空間において、固有関数からなる完全な直行正規系を構築する。