ウィグナー=エッカートの定理

ウィグナー=エッカートの定理とは、球対称テンソルの行列要素の計算を簡略化することを可能にする、量子力学における重要な定理である。 $T_{q}^{k}$ をランク $k$ の $q$ 番目の成分、 $(A, J_{2}, J_{z})$ を交換する観測量の完全集合 $| α j m ⟩$ をそれらの固有状態の基底とする。すると、

⟨ α^{'} j^{'} m^{'} | T_{q}^{k} | α j m ⟩ = ⟨ j k; m q | j k; j^{'} m^{'} ⟩ \frac{⟨ α^{'} j^{'} | | T^{k} | | α j ⟩}{\sqrt{2 j + 1}}

右辺の最初の項は、それぞれ第3成分が $m$ 及び $q$ である2つの角運動量 $j$ 及び $k$ の合成に対応するクレブシュ=ゴルダン係数である。2番目の項は縮約行列要素と呼ばれ、 $m$ 、 $m^{'}$ 及び $q$ に依存しない。 $k = 0$ 、すなわち、球面テンソルがスカラーである場合、次のように表される。

⟨ α^{'} j^{'} m^{'} | T_{0}^{0} | α j m ⟩ = ⟨ j 0 m 0 | j^{'} m^{'} ⟩ ⟨ α^{'} j^{'} | | T^{0} | | α j ⟩

その結果、行列要素が0でないようにするために $j = j$ 及び $m = m$ という選択則が得られる。 $k = 1$ 、すなわち球面テンソルがベクトル演算子である場合、次の式が得られる。

⟨ α^{'} j^{'} m^{'} | T_{q}^{1} | α j m ⟩ = ⟨ j 1 m q | j^{'} m^{'} ⟩ ⟨ α^{'} j^{'} | | T^{1} | | α j ⟩

したがって、選択則 $m^{'} = m + q$ 及び $j^{'} \in j \otimes 1$ が導出される。

ウィグナー=エッカートの定理より、 $j = j^{'}$ かｔる $k = 1$ の場合、もう一つの重要な定理である投影定理が簡単に導かれる。

⟨ α^{'} j m^{'} | T_{q}^{1} | α j m ⟩ = ⟨ j m^{'} | J_{q} | j m ⟩ ⟨ α^{'} j m | α j m ⟩

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