1に収束する級数一覧

ここでは1に収束（広義）する級数を結果のみ只だ只管列挙する。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-2=-2-2-2-2-2-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}2=2-2+2-2+2-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-2^n=-1-2-4-8-16-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-2{)}^{-n-1}3=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{3}{16}+\frac{3}{32}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-2{)}^{n}3=3-6+12-24+48-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-2n-2}3=\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-2^{2n}3=3+12+48+192+768+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{-}^n{2}^{-2n-2}5=\frac{5}{4}-\frac{5}{16}+\frac{5}{64}-\frac{5}{256}+\frac{5}{1024}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{-}^n{2}^{2n}5=5-20+80-320+1280-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-12n=0-12-24-36-48-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-(-1{)}^{n}4n=0+4-8+12-16+\cdots =1$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{3\ln 2}-\frac{1}{4\ln 2}+\frac{1}{5\ln 2}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{\pi }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{4}{\pi }-\frac{4}{3\pi }+\frac{4}{5\pi }-\frac{4}{7\pi }+\frac{4}{9\pi }-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2e}{e^2-1}\frac{1}{(2n+1)!}=\frac{2e}{e^2-1}+\frac{2e}{3!(e^2-1)}+\frac{2e}{5!(e^2-1)}+\frac{2e}{7!(e^2-1)}+\frac{2e}{9!(e^2-1)}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!\sin 1}=\frac{1}{\sin 1}-\frac{1}{3!\sin 1}+\frac{1}{5!\sin 1}-\frac{1}{7!\sin 1}+\frac{1}{9!\sin 1}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2e}{e^2+1}\frac{1}{(2n)!}=\frac{2e}{e^2+1}+\frac{2e}{2!(e^2+1)}+\frac{2e}{4!(e^2+1)}+\frac{2e}{6!(e^2+1)}+\frac{2e}{8!(e^2+1)}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!\cos 1}=\frac{1}{\cos 1}-\frac{1}{2!\cos 1}+\frac{1}{4!\cos 1}-\frac{1}{6!\cos 1}+\frac{1}{8!\cos 1}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!e}=\frac{1}{e}+\frac{1}{e}+\frac{1}{2e}+\frac{1}{6e}+\frac{1}{24e}+\frac{1}{120e}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}e=e-e+\frac{e}{2}-\frac{e}{6}+\frac{e}{24}-\frac{e}{120}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-\frac{(-1{)}^n{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!}=-1+\frac{{\pi }^3}{3!}-\frac{{\pi }^5}{5!}+\frac{{\pi }^7}{7!}-\frac{{\pi }^9}{9!}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\pi }^{2n}}{(2n)!2^{2n}}=1-\frac{{\pi }^2}{2!2^2}+\frac{{\pi }^4}{4!2^4}-\frac{{\pi }^6}{6!2^6}+\frac{{\pi }^8}{8!2^8}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\pi }^{2n+1}}{(2n+1)!2^{4n+1.5}}=1-\frac{{\pi }^3}{3!2^{5.5}}+\frac{{\pi }^5}{5!2^{9.5}}-\frac{{\pi }^7}{7!2^{13.5}}+\frac{{\pi }^9}{9!2^{17.5}}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\pi }^{2n}}{(2n)!2^{4n-\frac{1}{2}}}=1-\frac{{\pi }^2}{2!2^{3.5}}+\frac{{\pi }^4}{4!2^{7.5}}-\frac{{\pi }^6}{6!2^{11.5}}+\frac{{\pi }^8}{8!2^{15.5}}-\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}-\frac{(i\pi {)}^n}{n!}=-1-i\pi +\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{i{\pi }^3}{6}-\frac{{\pi }^4}{24}-\frac{i{\pi }^5}{120}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2i^n}{1+i}=\frac{2}{1+i}+\frac{2i}{1+i}-\frac{2}{1+i}-\frac{2i}{1+i}+\frac{2}{1+i}+\cdots =1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2i^{-n}}{1-i}=\frac{2}{1-i}-\frac{2i}{1-i}-\frac{2}{1-i}+\frac{2i}{1-i}+\frac{2}{1-i}-\cdots =1$

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