重積分の変数変換公式

数学の解析学分野に於ける重積分の変数変換公式とは1変数関数の定積分に対する置換積分の公式を多変数関数の重積分に拡張したものである。

概要

2変数の場合について述べる。3変数以上の多変数関数の重積分に対しても同様の公式が成り立つが行列式のサラスの公式や余因子展開など本格的な線形代数の知識が無いと歯が立たないであろう。

二つの2変数関数

$x=x(u,v),y=y(u,v)$

を考えてこれに全微分をとると

${\begin{cases}dx=x_{u}du+x_{v}dv\\dy=y_{u}du+y_{v}dv\end{cases}}$

となるが、これを列ベクトルと行列で表わせば

${\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{u}&x_{v}\\y_{u}&y_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}$

と書ける。

さて、ここで2本のベクトル

${\begin{pmatrix}du\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\dv\end{pmatrix}}$

を考えればこのベクトルが張る平行四辺形(つーか矩形)の面積はdudvで表されるのだがこのベクトルを線形変換した物の面積をdxdyと書く事にすれば「線形変換の面積公式」より

• $dxdy=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|dudv$

が成り立つ。ここでdudvの前に掛かった〝係数〟はヤコビアンと呼ばれる行列式である。

写像$\Phi :(u,v)\mapsto (x,y)$を考えて上記公式の両辺に関数$f=f(x,y)$かけてリーマン和をとれば

• $\iint _{D}f(x,y)dxdy=\iint _{E}f(x,y)\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|dudv$

が導かれる。なお領域D,Eには$D=\Phi (E)$の関係があるので注意。これが置換積分のニ変数関数版であり「変数変換公式」と呼ばれている。

※以上の記述はかなり大雑把でいい加減な物であって厳密な証明などでは全くない。そもそも積分の理論は定義からして難解極まりない物であって(筆者も含め)素人には敷居が高過ぎる学問である。