線形変換の面積公式

数学の線形代数学分野に於ける「線形変換の面積公式」とは2本のベクトルに線形変換を施す事で得られる像のベクトル(2本)が張る平行四辺形の面積を表わす公式である。

概要

一般のn次ベクトルの線形変換に関して述べるのは難しいので二次元の簡単なやつでお話します。

2つのベクトル

${\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}},{\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}$

に対して二次正方行列

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

を用いて線形変換を施すと

${\boldsymbol {u'}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}au_{x}+bu_{y}\\cu_{x}+du_{y}\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {v'}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}av_{x}+bv_{y}\\cv_{x}+dv_{y}\end{pmatrix}}$

が得られる。

さてここで外積の定義内で現れるベクトルが張る平行四辺形の面積公式に於いてz成分を無視すれば

$S=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}$

と書けるがこれを上記線形変換に適用すれば

$(au_{x}+bu_{y})(cv_{x}+dv_{y})-(cu_{x}+du_{y})(av_{x}+bv_{y})$

が成り立つ。これを変形すれば2つのベクトルu,vの線形変換の像の面積S^*が

$S^{*}=(ad-bc)(u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})$

で表される事が分かる。上式右辺のad-bcは行列Aの行列式を、2つめの括弧内は元のベクトルu,vが張る平行四辺形の面積(これをSと置こう)を表しているので上述の公式は

• $S^{*}=\det {(A)}\cdot S$

と書ける事になる。この公式から線形変換の行列の行列式は変換前の面積と変換後の面積の比を表している事が分かる。