確率流

確率流とは量子力学における確率密度関数の変化を記述するものである。

定義

確率電流$\overrightarrow{j}$は以下のように定義される。

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)=\frac{\hslash }{m}\mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })$

• $\mathrm{\Psi }$=質量$m$の粒子の波動関数
• $*$=複素共役
• $\hslash$=換算プランク定数
• $\mathrm{I}\mathrm{m}$=カッコ内の式の虚部を表す

特徴

ベクトル$\overrightarrow{j}$は量子力学の連続方程式の

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}=0$

を満たし、確率密度$\rho$は、

$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$

となり、連続方程式は、積分方程式の

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV+\underset{S}{\int }\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}=0$

と等価であり、ここで、$V$は体積、$t$は時間、$S$は体積の境界である。これは量子力学における確率密度の保存則である。

最後の式の第一項(時間に関する導関数はなし)の積分は、位置測定の瞬間に粒子がある体積$V$内に存在する確率を表す。第二項は、確率が体積$V$から流出する速度である。全体としてこの方程式は、体積$V$ないに粒子が見つかる確率の時間微分が、確率がその体積に流入する速度と等価であることを表している。