発展演算子

発展演算子(時間における進化の生成元)とは、ヒルベルト空間上で定義される量子力学の演算子であり、系の状態の時間から他の任意の時間に変換する。

ハミルトニアン演算子との関係[編集]

発展演算子 $\hat{S} (t, t_{0})$ は、次の式でハミルトニアン演算子と関係している。

\hat{S} (t, t_{0}) = T {\exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (t^{'}) d t^{'})}, t > t_{0}

\hat{S} (t, t_{0}) = \overline{T} {\exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t}^{t_{0}} H (t^{'}) d t^{'})}, t < t_{0}

ここで、 $T, \bar{T}$ は、順序付け演算子及び反順序付け演算子である。

特にハミルトニアンが時間依存しない場合、発展演算子は次の形になる。

\hat{S} (t, t_{0}) = e^{- i \hat{H} (t - t_{0}) / ℏ}

$\hat{S} (t_{2}, t_{1})$ はユニタリー演算子である。
$\hat{S} (t_{3}, t_{2}) \hat{S} (t_{2}, t_{1}) = \hat{S} (t_{3}, t_{1}), \forall t_{1}, t_{2}, t_{3}$
$\hat{S} (t, t_{1}) \hat{S} (t_{1}, t) = \hat{I}, \forall t_{1}, t$