平方完成

初等数学に於ける平方完成とは二次関数の一般形

y = a x^{2} + b x + c, (a \neq 0)

を標準形

y = a (x - p)^{2} + q

に変形するための技法である。

概要[編集]

まず展開公式

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}

を念頭に置いておく。

そして二次関数の一般形から次のように(強引に)aをくくりだす。；

y = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c

次に括弧の中でxの係数を2で割って2乗したものを足して、それと同じものを(係数a掛けて約分して)括弧の外に引く。；

y = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} + c - \frac{b^{2}}{4 a}

この式の大きい方の括弧内は実質的に上述の展開公式と同じ物であり以下のように変形できる。；

y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

このような式変形の事を「平方完成」という。

これから容易に二次方程式の解の公式と二次関数のグラフ(放物線)の頂点を求める事ができる。

なかなか厄介な式変形であり一部の数学が苦手な高校生の中には「これだったら微分の計算の方がまだマシ(簡単)だ…orz」と嘆く者も居るとか居ないとか。