二次方程式の解の公式

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二次方程式の解の公式は、二次方程式の解を求める公式である。中学3年で暗記させられる。判別式は高等学校、高等専門学校で学習します。一部の私立は中2の最初にやる。がんばって!!

内容[編集]

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解は $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ である。

また、特に二次方程式 $a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0$ の解は $x = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b'^{2} - a c}}{a}$ である。

上式について、 $D = b^{2} - 4 a c$ を判別式と呼び、以下のような関係がある。

上2問は因数分解でも解けるので、確認に使えます。

練習問題 : 解の公式の利用

以下の方程式を解け。

正解は右をクリックして表示！

順に、

まず、ax²+bx+c=0の両辺にaで割ると

x^{2} + \frac{b}{a} x^{} + \frac{c}{a} = 0

そこで、

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

を利用し

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}

すなわち

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}

と導出される。これを整理すると

x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{(2 a)^{2}} - \frac{4 a c}{(2 a)^{2}}}

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

となり、よく見る形と同じ式になる。

この方法は平方完成と言われる。つまり、解の公式は平方完成から求められるということがわかる。

作家の曽野綾子は、二次方程式の解の公式が「実用から離れている」として、学校数学不要論を展開した。