変分法

変分法とは、少数パラメータに依存する試行関数を使用して特定の関数を最小化することにより、数学の問題を解く方法である。

量子力学

量子力学系の状態は波動関数によって決定され、波動関数は時間に依存しないシュレーディンガー方程式から導出される。

$\hat{H}\psi =E\psi$

• $\hat{H}$=ハミルトニアン演算子

一般に粒子の数が多い場合、追加の近似を使用せずともシュレーディンガー方程式を解析的に説くことは不可能である。

$⟨\psi |\hat{H}|\psi ⟩=\int {\psi }^{*}\hat{H}\psi d\tau$

ここで、積分は座標空間全体にわたって行われ、$\psi$は系のすべての変数に対する任意の関数であり、系の基底状態に対応し、シュレーディンガー方程式の解である特定の関数${\psi }_0$において最小値を持つ。

変分法は、いくつかのパラメータ${\lambda }_i$に依存する系の変数$\varphi ({\lambda }_i)$の試行関数を用いて、正規化の条件を満たすことを解決することである。

$⟨\varphi |\varphi ⟩=1$

この場合、

$\mathrm{\Phi }({\lambda }_i,E)=\int {\varphi }^{*}({\lambda }_i)\hat{H}\varphi ({\lambda }_i)d\tau -E\int {\varphi }^{*}({\lambda }_i)\varphi ({\lambda }_i)d\tau$

パラメータ${\lambda }_i$および追加パラメータ$E$からの関数である。この関数の全パラメータ${\lambda }_i$における最小値は、系の基底エネルギーへの近似を決定する。この最小値は、方程式系から導出できる。

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }({\lambda }_i,E)}{\partial {\lambda }_j}=0$

正規化条件または、その他の最小化の方法を考慮する。

変分法は、与えられた試行関数の形式に対して、基底エネルギーへの最良の近似値を与える。適切に選択された試行関数を用いれば、この近似値はより正確になり、実験的に観測される値とはごくわずかとなる。また、適切に選択された試行関数は、量子力学系の挙動に関する定性的な結論を導出することも可能にする。これは普通、系の挙動に関する特定の物理的概念に基づいて行われる。試行関数のパラメータ数を増やすと結果は改善されるが、問題が複雑になり、誤った局所的最小値が出てくる可能性がある。