位相関数法

位相関数法とは量子力学における問題を解く方法の一つである。これは位相関数の概念に基づいており、位相関数は明確な物理的な意味を持っている。例えば、ポテンシャル場における素粒子の運動を考える場合、散乱ポテンシャルの基準座標の中心を $R = 0$ とすると、点 $r$ における位相関数は、半径の球に含まれるポテンシャル部分における散乱位相に等しい。

位相と振幅の関数[編集]

スピンを持たない粒子の球対称ポテンシャル $V (r)$ における散乱を考えると、半径方向波動関数 $u_{l} (r)$ に対するシュレーディンガー方程式は以下のようになる。

\frac{d^{2}}{d r^{2}} u_{l} (r) + [k^{2} - \frac{l (l + 1)}{r^{2}} - V (r)] u_{l} (r) = 0

— (1)

ここで、 $k^{2}$ は粒子のエネルギー、 $l$ は粒子の軌道角運動量である。この方程式の解は以下のようになる。

u_{l} (r) \approx C [j_{l} (k r) - \tan δ_{l} n_{l} (k r)]

もしくは、

u_{l} (r) \to C \sin (k r - \frac{l π}{2} + δ_{l}), r \to \infty

ここで、 $j_{l} (k r)$ 及び $n_{l} (k r)$ はリッカチ=ベッセル関数である。

2つの条件に基づいて、位相関数 $δ_{l} (r)$ と振幅関数 $A_{l} (r)$ を考えると、

u_{l} (r) = A_{l} (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)]

— (2)

及び

\frac{d}{d r} u_{l} (r) = A_{l} (r) [\cos δ_{l} (r) \frac{d}{d r} j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) \frac{d}{d r} n_{l} (k r)]

— (3)

2番目の条件は同等である。

\frac{d A_{l}}{d r} [c o s δ_{l} j_{l} - \sin δ_{l} n_{l}] - \frac{d δ_{l}}{d r} A_{l} [\sin δ_{l} j_{l} + \cos δ_{l} n_{l}] = 0

式(3)を微分し、2次導関数 $u_{l}$ の式を式(2)とともにシュレーディンガー方程式(1)に代入し、位相関数 $δ_{l} (r)$ の方程式を得る。

\frac{d}{d r} δ_{l} (r) = - \frac{1}{k} V (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)]^{2}

— (4)

初期条件は、

δ_{l} (0) = 0

同様に振幅関数の方程式も得られる。

\frac{d}{d r} A_{l} (r) = - \frac{1}{k} A_{l} (r) V (r) [\cos δ_{l} (r) j_{l} (k r) - \sin δ_{l} (r) n_{l} (k r)] [\sin δ_{l} (r) j_{l} (k r) + \cos δ_{l} (r) n_{l} (k r)]

— (5)

位相方程式(4)は散乱位相とポテンシャルの関係を表す。これは1階のリッカチ方程式であり、数値計算方の適用に便利である。位相関数法に基づいて、散乱振幅、S行列要素、散乱パラメータ、結合状態、エネルギー、グリーン関数、ポテンシャル障壁透過係数を計算することができる。

位相関数法

位相と振幅の関数[編集]

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