位相積分

位相積分とは量子力学における基本的な積分の一つであり、1960年代初頭にリチャード・ファインマンによってはじめて導入された。経路積分と同様に、位相積分は場の影響による位相遷移を求めることが可能である。例えば、素粒子の運動に対する磁場の影響は、位相遷移をもたらす。

数式

位相積分は以下のような式となっている。

$\mathrm{\Delta }{\varphi }_{\mathrm{H}}=\frac{e}{\hslash c}\underset{S}{\int }(A,d\mathrm{l})$

• $e$=電気素量
• $c$=真空中の光速
• $\hslash$=換算プランク定数
• $A$=磁場のベクトルポテンシャル
• $d\mathrm{l}$=粒子の軌道要素

微分位相変化

実際には、ベクトルポテンシャル$A$(磁場$B$)の絶対値を考慮する積分的な位相変化ではなく、微分的な位相変化の方が重要である。というのも、全車の場合はポテンシャル$A$の振幅が大きいと位相変化も大きくなり、位相が$2\pi$に近い値で変化する微分的な場合ほど重要ではないからである。例えば、干渉計では、パラメータの絶対値よりも微分地の方が重要で、それがまさにこの現象の起因となっている。ゴールドマンの量子反点では、伝導度の振動を測定する場合も、磁場$\mathrm{\Delta }B$の微分値の方がより重要である。よって、磁場$\mathrm{\Delta }B$を持つ地場が存在する場合、位相の微分変化$\delta (\mathrm{\Delta }{\varphi }_H)$を求めるという単純な問題につながる。この時、ファインマンの一般的な位相積分は、以下の形に書き直すことができる。

$\delta (\mathrm{\Delta }{\varphi }_H)=\frac{e}{\hslash c}\delta \underset{S}{\int }(A,d\mathrm{l})=\frac{e}{\hslash c}\mathrm{\Delta }A\cdot \mathrm{\Delta }S$

• $\mathrm{\Delta }S=2\pi \mathrm{\Delta }{l}_B$ =磁場$B$による迂回経路の長さ
• $\mathrm{\Delta }{l}_B=\sqrt{\frac{\hslash }{e\mathrm{\Delta }B}}$=磁場$B$による磁気長

したがって、位相の微分変化は以下の形で求められる。

$\delta (\mathrm{\Delta }{\varphi }_H)=\frac{2\varphi }{c}\frac{e}{\hslash }\frac{\mathrm{\Delta }A}{\sqrt{\mathrm{\Delta }B}}=2\varphi f_{\mathrm{p}\mathrm{h}}$

また、磁場$\mathrm{\Delta }B$の周期性によって生じる回路の位相係数についても重要である。

$f_{\mathrm{p}\mathrm{h}}=\frac{1}{2\pi }\delta (\mathrm{\Delta }{\varphi }_H)=k_{\mathrm{p}\mathrm{h}}\frac{\mathrm{\Delta }A}{\sqrt{\mathrm{\Delta }B}}$

関連項目

• アハロノフ=ボーム効果