交換関係

量子力学の形式的な定義において、系のあらゆる観測量にはエルミート演算子に関連付けられており、その固有値は物理的測定の結果となる。2つの量子演算子($\hat{A}$及び$\hat{B}$)間の交換子$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$がゼロである場合、これら2つの演算子に共通する固有ベクトルの基底を見つけることができる。物理的な観点からいえば、これは、2つの物理量が同時に測定可能であることを意味する。ハイゼンベルクの不確定性原理は、運動量演算子と位置演算子の非交換関係を定式化したものである。系の保存量も演算子間の交換関係と結びついている。例えば、時間には明示的に依存しない演算子$\hat{A}$が、ハミルトニアン演算子$\hat{H}$と交換する場合、その平均値は運動の保存量となる。

交換関係の例

位置と運動

$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash {\delta }_{ij}\hat{l}$

角運動量の成分

$[{\hat{L}}_i,{\hat{L}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{L}}_k$

$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_i]=0$